[논문 리뷰] Distribution and Dependence of Extremes in Network Sampling Processes

Konstantin Avrachenkov, Natalia M. Markovich외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 11.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 38인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 이元적 분포 구조를 네트워크 샘플링 과정—특히 랜덤 워크(RW), 점프를 동반한 랜덤 워크(RWJ), 페이지랭크(PR)—에서 이원 Pareto 차수 상관관계 하에서 극값 지수(EI)를 유도하여 분석한다. RWJ의 EI는 점프 확률과 네트워크 평균 차수에 비례하는 인자에 의해 감소하는 것으로 나타났으며, PR의 EI는 (1−c)에 의해 아래로 봉인되어 있어 샘플링 기반 네트워크 추론에서 극값 행동에 대한 이론적 보장을 제공한다.

ABSTRACT

We explore the dependence structure in the sampled sequence of large networks. We consider randomized algorithms to sample the nodes and study extremal properties in any associated stationary sequence of characteristics of interest like node degrees, number of followers or income of the nodes in Online Social Networks etc, which satisfy two mixing conditions. Several useful extremes of the sampled sequence like $k$th largest value, clusters of exceedances over a threshold, first hitting time of a large value etc are investigated. We abstract the dependence and the statistics of extremes into a single parameter that appears in Extreme Value Theory, called extremal index (EI). In this work, we derive this parameter analytically and also estimate it empirically. We propose the use of EI as a parameter to compare different sampling procedures. As a specific example, degree correlations between neighboring nodes are studied in detail with three prominent random walks as sampling techniques.

연구 동기 및 목표

• 극값 차수의 의존 구조를 극값 지수(EI)를 통해 네트워크 샘플링 과정에서 특성화하기.
• 기본 네트워크의 차수 상관관계가 랜덤 워크 및 페이지랭크 샘플링의 극값 행동에 미치는 영향을 분석하기.
• 직접적인 꼬리 분포 계산을 피하기 위해 점프를 동반한 랜덤 워크(RWJ)의 극값 지수에 대한 분석적 표현을 도출하기.
• 기본 차수 상관관계의 구조에 독립적인 페이지랭크 과정에서의 극값 지수에 하한을 설정하기.

제안 방법

• 차수 전이로 매개변수화된 네트워크 샘플링 과정의 마코프 체인 모델링.
• 이웃 노드 간의 차수 상관관계를 기술하기 위해 이원 Pareto 분포 적용.
• 혼합된 네트워크 차수 분포와 균일한 점프 성분을 사용하여 RWJ의 결합 밀도 및 꼬리 분포 유도.
• 극값 지수의 점근적 분석을 검증하기 위해 혼합 조건 D(un) 및 D′′(un) 활용.
• 조건부 초과 확률을 통한 EI의 극한 정의를 활용하여 RW 및 RWJ의 표현 유도.
• 극값 이론의 알려진 결과와 생존함수 근사법을 활용하여 페이지랭크의 EI를 경계함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점프를 동반한 랜덤 워크(RWJ)의 극값 지수는 네트워크의 평균 차수와 점프 확률에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 이원 Pareto 차수 상관관계 하에서 RWJ의 극값 지수의 분석적 형태는 무엇인가?
• RQ3 차수 상관관계의 존재는 네트워크 샘플링에서 극값 차수의 집합 현상에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 기본 차수 상관관계에 독립적인 페이지랭크에 대한 극값 지수의 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ5 마르코프 샘플링 과정에서 차수의 결합 꼬리 행동과 극값 지수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• RWJ의 극값 지수는 θ = 1 − E[D]/(E[D] + α) × 2^−γ 로 주어지며, 여기서 γ는 Pareto 꼬리 지수이고 α는 점프 확률을 제어하는 상수이다.
• 랜덤 워크(RW)의 경우 극값 지수는 θ = 1 − 1/(2γ) 이며, γ = 1일 때는 θ = 1/2 를 얻는다.
• RWJ의 결합 꼬리 분포는 네트워크의 차수 꼬리와 균일한 점프 성분의 볼록 조합이며, 각각의 가중치는 E[D]/(E[D] + α) 와 α/(E[D] + α) 이다.
• 페이지랭크 과정의 극값 지수는 (1 − c)에 의해 아래로 봉인되어 있으며, 여기서 c는 텔레포트 확률이며 차수 상관관계에 독립적이다.
• RWJ의 유도 과정에서 D′′(un) 조건과 점근적 근사를 활용하여 극한 분포의 역함수를 직접 계산하지 않아도 되었다.
• 생존함수 ¯F_RWJ(un) ≈ τ/n + o(1/n) 의 점근적 행동은 무거운 꼬리 차수 분포 하에서 EI 유도를 가능하게 한다.