[논문 리뷰] Distribution des preimages et des points periodiques d'une correspondance polynomiale

Tien‐Cuong Dinh|ArXiv.org|2003. 03. 28.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 라지에브스키 지수 l > 1인 다항대응에 대해 평형측도 μ를 구성하며, μ가 일반적인 점의 전이상의 분포로 나타나고, 반발성 순환점들이 그 지지집합 위에 균일분포됨을 보인다. 주요 기여는 이러한 대응의 역동적 성질을 통해 다항식에 대한 무한유일집합을 특성화하는 데 있다.

ABSTRACT

We construct an equilibrium measure $μ$ for a polynomial correspondence F of Lojasiewicz exponent l>1. We then show that $μ$ can be built as the distribution of preimages of a generic point and that the expansive periodic points are equidistributed on the support of $μ$. Using this results, we will give a characterization of infinite unique sets for polynomials.

연구 동기 및 목표

• 라지에브스키 지수 l > 1인 다항대응에 대해 평형측도 μ의 존재성과 불변성을 확립한다.
• μ가 일반적인 점의 전이상 측도의 약한 극한임을 보이며, Briend-Duval의 결과를 다가우측 맵으로 확장한다.
• 대응 F = f∘g⁻¹의 역동성과 연결하여 다항식에 대한 무한유일집합을 특성화한다.
• 대응의 반발성 순환점들이 μ의 지지집합 위에 균일분포됨을 증명한다.
• 회전대칭성 및 체비세프형 예외를 제외한, 컴팩트 집합 K가 다항식에 대해 무한유일집합이 되는 동적 조건을 제공한다.

제안 방법

• dd^c 유형의 해상도 방법을 통해 다항대응에 대해 평형측도 μ를 구성하며, [11]의 기법을 일반화한다.
• 무한원에서의 충분한 감쇠를 확보하기 위해 라지에브스키 지수 l > 1을 사용하여 전이상 측도의 수렴을 보장한다.
• 사영 π_A의 섬유 위에서 푸비니 유형의 적분을 적용하여 d₂⁻ⁿ[Yₙ]이 π₁*μ로 약한 수렴함을 보인다.
• 예외집합 𝔈을 최대의 적절한 F⁻¹-불변 대수적 부분집합 𝔈₀의 양의 궤도로 정의하며, 이가 다중극집합임을 증명한다.
• Lyubich 및 Briend-Duval의 방법을 변형하여 일반적인 점 주변의 작은 볼 내에서 역지점의 수와 크기를 제어한다.
• F*에 대한 μ의 불변성과 지수 속도의 혼합성 특성을 이용하여 반발성 순환점의 균일분포를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라지에브스키 지수 l > 1인 다항대응에 대해 평형측도를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 평형측도 μ가 다항대응 하에서 일반적인 점의 전이상의 분포로 어떤 의미에서 나타나는가?
• RQ3 μ의 지지집합 위에서 반발성 순환점의 균일분포는 다항식 전이상 집합의 유일성 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 컴팩트 집합 K에 대해 어떤 동적 조건이 K가 다항식에 대해 무한유일집합이 되도록 보장하는가?
• RQ5 어떤 예외적인 경우들(예: 회전대칭성 또는 체비세프형 집합)이 컴팩트 집합이 무한유일집합이 되는 것을 방해하는가?

주요 결과

• 라지에브스키 지수 l > 1인 다항대응 F에 대해 평형측도 μ는 F*-불변이며 지수 속도로 혼합되며, 다중극집합을 측도로 갖지 않는다.
• μ는 예외집합 𝔈 외부의 임의의 점의 전이상에 대한 정규화된 수세기 측도의 약한 극한이다.
• 예외집합 𝔈은 최대의 적절한 대수적 F⁻¹-불변 부분집합 𝔈₀의 양의 궤도이며, 다중극집합이다.
• 대응 F의 반발성 순환점들은 μ의 지지집합 위에 균일분포되며, Briend-Duval의 결과를 대응으로 일반화한다.
• ℂ 내의 무한 컴팩트 집합 K ⊂ ℂ가 다항식에 대해 유일집합이 되는 것은 K가 줄리아형 집합이 아니며, 어떤 회전에 관하여도 불변이 아닐 때에 한하여 성립한다.
• f, g가 비상수 다항식이며 f⁻¹(K) = g⁻¹(K)일 때, deg(f) = deg(g)이면 f = R∘g를 만족하는 회전 R가 존재하거나, deg(f) > deg(g)이면 f = P∘g이면서 P⁻¹(K) = K를 만족한다. 유일한 두 예외적인 경우는 원 또는 구간 [−1,1]과 체비세프 다항식을 포함한다.