[논문 리뷰] Distribution of postcritically finite polynomials

Charles Favre, Thomas Gauthier|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 다항식의 모듈리 공간에서 임의의 조합적 구조와 다중성수를 갖는 후기적으로 유한한 다항식과 초구형 매개수의 등분포를 분열 측도에 대해 증명한다. 양의 등분포 정리와 에프스타인의 횡단성 결과를 활용하여, 이러한 매개수가 조합적 복잡성이 증가함에 따라 분열 측도에 대해 균일하게 분포함을 증명한다.

ABSTRACT

We prove that Misiurewicz parameters with prescribed combinatorics and hyperbolic parameters with (d - 1) distinct attracting cycles with given multipliers are equidistributed with respect to the bifurcation measure in the moduli space of degree d complex polynomials. Our proof relies on Yuan's equidistribution results of points of small heights, and uses in a crucial way Epstein's transversality results.

연구 동기 및 목표

• 모듈리 공간 $\mathcal{P}_d$ 내에서 임의의 임계 궤도 조합적 구조를 갖는 후기적으로 유한한 다항식이 분열 측도에 대해 등분포함을 확립한다.
• 다른 $d-1$ 개의 서로 다른 안정성 궤도와 임의의 다중성수를 갖는 초구형 매개수가 동일한 측도에 대해 등분포함을 증명한다.
• 첨도 높이 이론과 기하학적 횡단성에 기반하여 이차 다항식에서 고차 다항식으로 등분포 결과를 확장한다.
• 다항식 동역계의 고차원 매개수 공간에서의 등분포를 위한 일반적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 등분포 정리의 아리트메틱 동역학에서의 소고도 점을 활용하여 $\mathcal{P}_d$ 내 특수 매개수의 분포를 분석한다.
• 임계점의 최대 그린 함수를 통해 매개수 공간 $\mathbb{C}^{d-1}$ 상에서 분열 높이 함수를 구성한다.
• 선다발 $\mathcal{O}(1)$ 위에 반정규적 첨도 메트릭을 도입하여 높이를 정의함으로써 산술적 성질과 동역학적 성질를 연결한다.
• 에프스타인의 횡단성 결과를 적용하여 임계 궤도 관계가 매개수 공간 내에서 매끄럽고 횡단적인 교차를 이룸을 보장한다.
• 초구형 성분에 의해 매개수화된 헬로모르픽 디스크 $\mathbb{D}_{c,a}$ 를 사용하여 거리 추정과 측도 집중을 통제한다.
• 길이-면적 추정과 데자르크의 정리를 적용하여 주기적 매개수의 수를 유계하고 측도 수렴 속도를 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 임계 궤도 조합적 구조를 갖는 후기적으로 유한한 다항식이 $\mathcal{P}_d$ 내에서 분열 측도에 대해 등분포하는가?
• RQ2 다른 $d-1$ 개의 서로 다른 안정성 궤도와 고정된 다중성수를 갖는 초구형 매개수가 분열 측도에 대해 등분포하는가?
• RQ3 높이 이론적 방법을 통해 고차 다항식 가중치의 특수 매개수의 등분포를 확립할 수 있는가?
• RQ4 임계 궤도 관계의 횡단성은 매개수 공간 내 등분포를 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이러한 매개수의 등분포가 분열 측도로 수렴하는 속도는 얼마나 되는가?

주요 결과

• 고정된 조합적 구조를 갖는 엄격한 후기적으로 유한한 다항식은 $\mathcal{P}_d$ 내에서 분열 측도 $\mu_{\textup{bif}}$에 대해 등분포한다.
• 다른 $d-1$ 개의 서로 다른 안정성 궤도와 고정된 다중성수를 갖는 초구형 매개수 역시 $\mu_{\textup{bif}}$로 등분포한다.
• 이러한 매개수에 관련된 경험 측도의 수렴은 약한 수렴임이 입증되었으며, 오차 한계는 $\varepsilon \to 0$ 일 때 감소한다.
• 집합 $\operatorname{Per}^*(\underline{m}_k, \underline{w}[j])$ 의 기수는 정확히 $\prod_l \bar{M}_d(m_{k,l})$ 와 일치하며, 이는 대수적 곡선 $C_{k,j}$ 의 차수와 같다.
• 비율 $\frac{\operatorname{Card}(\operatorname{Per}^*(\underline{m}_k, \underline{w}[j+1]))}{\deg(C_{k,j})}$ 는 $\leq d(d-1)^{-2} d^{-m_{k,j}} \to 0$ 로 감소하여 측도 집중을 보장한다.
• 연속된 초구형 성분 내 대응하는 점들 사이의 거리는 $K\varepsilon$ 이하로 유계지며, 이는 길이-면적 추정을 통해 측도 차이를 통제할 수 있게 한다.