[논문 리뷰] Distributionally robust polynomial chance-constraints under mixture ambiguity sets

Jean B. Lasserre, Tillmann Weißer|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 30.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 51인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 혼합 모호성 집합 하에서 다항 확률 제약 조건에 대한 분포로 불변하는 접근법을 제안하며, 다항 최적화와 준정형 프로그래밍을 사용하여 타당 영역의 내부 근사치를 구성한다. 주요 기여는 degree가 증가함에 따라 르베그 측도에서 진짜 타당 영역으로 수렴하는 다항 기반 근사치의 수열을 제공함으로써, 분포 불확실성 하에서의 강건 최적화에 대해 점근 수렴성과 처리 가능성 보장한다.

ABSTRACT

Given $X \\subset R^n$, $\\varepsilon \\in (0,1)$, a parametrized family of probability distributions $(\\mu\\_{a})\\_{a\\in A}$ on $\\Omega\\subset R^p$, we consider the feasible set $X^*\\_\\varepsilon\\subset X$ associated with the {\\em distributionally robust} chance-constraint \\[X^*\\_\\varepsilon\\,=\\,\\{x \\in X :\\:{\ m Prob}\\_\\mu[f(x,\\omega)\\,>\\,0]> 1-\\varepsilon,\\,\\forall\\mu\\in M\\_a\\},\\]where $M\\_a$ is the set of all possibles mixtures of distributions $\\mu\\_a$, $a\\in A$.For instance and typically, the family$M\\_a$ is the set of all mixtures ofGaussian distributions on $R$ with mean and standard deviation $a=(a,\\sigma)$ in some compact set $A\\subset R^2$.We provide a sequence of inner approximations $X^d\\_\\varepsilon=\\{x\\in X: w\\_d(x) <\\varepsilon\\}$, $d\\in N$, where $w\\_d$ is a polynomial of degree $d$ whosevector of coefficients is an optimal solution of a semidefinite program.The size of the latter increases with the degree $d$. We also obtain the strong and highly desirable asymptotic guarantee that $\\lambda(X^*\\_\\varepsilon\\setminus X^d\\_\\varepsilon)\ o0$as $d$ increases, where $\\lambda$ is the Lebesgue measure on $X$. Same resultsare also obtained for the more intricated case of distributionally robust "joint" chance-constraints.

연구 동기 및 목표

• 불확실성에 대한 알려진 고정된 확률 분포에 의존하는 전통적 확률 제약 최적화의 한계를 해결하기 위해.
• 일부 분포 지식(예: 정규분포, 지수분포 등 혼합)만 있을 때 분포로 불변하는 확률 제약 조건에 대한 처리 가능한 근사 방법을 개발하기 위해.
• 혼합 모호성 집합으로 정의된 분포의 가족 전반에서 의사결정의 타당 영역이 강건하게 유지되도록 보장하기 위해.
• 근사 차수 증가에 따라 진짜 강건 타당 영역으로 수렴하는 내부 근사치의 계층을 제공하기 위해.

제안 방법

• 타당 영역은 혼합 모호성 집합 M_a에 속하는 모든 분포 하에서 제약 위반 확률이 ε 이하인 의사결정 x ∈ X 의 집합으로 정의된다.
• 다항식 w_d(x)의 차수 d가 증가함에 따라 내부 근사치 X^d_ε를 구성하며, w_d(x) < ε 이면 근사치로 간주된다.
• 다항식의 계수는 준정형 프로그래밍(SDP)의 해로서 구해지며, 이는 모멘트-제곱합(Moment-SOS) 계층을 통한 처리 가능한 계산을 가능하게 한다.
• 혼합 분포(예: 정규분포, 지수분포, 포아송분포 등)의 모멘트가 매개변수의 다항식 함수로 표현될 수 있음을 활용하여 대수적 표현을 가능하게 한다.
• 개별 및 동시 확률 제약 조건 모두에 적용 가능하며, 분포 가족에 대한 약한 정규성 조건 하에서 수렴 보장을 갖는다.
• 이론적 수렴은 르베그 측도를 통해 확립되며, 진짜 강건 집합 X^*_ε 와 근사치 X^d_ε 의 차이의 측도는 d 가 증가함에 따라 0으로 수렴한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 모호성 집합 하에서 다항 확률 제약 조건에 대한 분포로 불변 타당 영역의 처리 가능한 수렴 근사치를 구성할 수 있는가?
• RQ2 근사 차수 증가에 따라 근사 오차(르베그 측도 기준)가 어떻게 사라지는가?
• RQ3 정규분포, 지수분포, 포아송분포 혼합 등 분포 가족에 대해 어떤 조건이 모멘트의 다항 표현을 가능하게 하며, 따라서 제안된 방법을 가능하게 하는가?
• RQ4 제안된 방법을 다수의 제약 조건이 동시에 높은 확률로 만족되어야 하는 동시 확률 제약 조건으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 근사 차수 d 증가에 따라 유도되는 SDP 계층의 계산 복잡도와 확장성은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 다항식 w_d(x)의 차수 d 가 무한으로 갈수록 르베그 측도에서 진짜 강건 타당 영역 X^*_ε 로 수렴하는 내부 근사치 X^d_ε = {x ∈ X : w_d(x) < ε} 를 생성한다.
• 차수 d 의 다항식 w_d(x) 는 준정형 프로그래밍을 풀어 계산 가능하며, 이는 모멘트-제곱합 계층을 통한 처리 가능한 계산을 가능하게 한다.
• 정규분포, 지수분포, 포아송분포, 이항분포 등의 혼합 가족의 경우, 분포의 모멘트는 매개변수의 다항식 함수로 표현되며, 필요한 대수적 구조를 만족한다.
• d 가 증가함에 따라 집합 X^*_ε \ X^d_ε 의 측도가 0으로 수렴하여 강력한 점근 수렴 보장을 제공한다.
• 이 방법은 개별 및 동시 확률 제약 조건 모두에 적용 가능하며, 더 복잡한 강건 최적화 문제로의 프레임워크 확장을 가능하게 한다.
• 일반적인 분포인 정규분포와 지수분포에 대해 이론적 조건(가정 2.4 및 2.5)이 충족되어 모멘트 표현의 타당성과 적분의 연속성 보장한다.