[논문 리뷰] Domains for Higher-Order Games

Matthew Hague, Roland Meyer외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Formal Methods in Verification참고 문헌 10인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한 부울 공식의 무한 도메인을 도입하여 두 명의 플레이어가 참가하는 포함 게임을 분석하기 위해 고차원 재귀 체계에서의 게임을 분석한다. 이 공식들을 추상 해석을 통해 유한 도메인으로 추상화함으로써 저자들은 승리 영역의 효율적 고정점 계산을 가능하게 하였으며, 순서-k 체계에 대해 (k+1)EXP 알고리즘을 달성하고, 일치하는 하한선을 통해 최적성 증명을 한다.

ABSTRACT

We study two-player inclusion games played over word-generating higher-order recursion schemes. While inclusion checks are known to capture verification problems, two-player games generalize this relationship to program synthesis. In such games, non-terminals of the grammar are controlled by opposing players. The goal of the existential player is to avoid producing a word that lies outside of a regular language of safe words. We contribute a new domain that provides a representation of the winning region of such games. Our domain is based on (functions over) potentially infinite Boolean formulas with words as atomic propositions. We develop an abstract interpretation framework that we instantiate to abstract this domain into a domain where the propositions are replaced by states of a finite automaton. This second domain is therefore finite and we obtain, via standard fixed-point techniques, a direct algorithm for the analysis of two-player inclusion games. We show, via a second instantiation of the framework, that our finite domain can be optimized, leading to a (k+1)EXP algorithm for order-k recursion schemes. We give a matching lower bound, showing that our approach is optimal. Since our approach is based on standard Kleene iteration, existing techniques and tools for fixed-point computations can be applied.

연구 동기 및 목표

• 고차원 재귀 체계에서의 두 플레이어 포함 게임을 해결하기 위한 직접적이고 효율적인 알고리즘을 개발하기 위해.
• 비용이 많이 드는 사전 계산 없이 반복적이고 사양 기반의 분석을 가능하게 하는 Podelski의 루프를 통한 프로그램 합성 지원을 위해.
• 도달 가능성 또는 모델 체킹으로의 환원 없이도 비결정적 정규 사양을 분석 내부에서 직접 다룰 수 있도록 하기 위해.
• 고정점 계산을 지원하면서도 고차원 게임에 대해 최적의 복잡도를 유지하는 도메인을 제공하기 위해.

제안 방법

• 목표 정규 언어를 인식하는 유한 오ート마타의 상태를 원자 명제로 사용하는 무한 부울 공식의 도메인을 제안한다.
• 원자 명제를 오차마타 상태로 대체함으로써 추상 해석을 적용하여 이 무한 도메인을 유한 도메인으로 추상화한다.
• 유한 도메인에서 표준 Kleene 반복을 사용하여 고정점 계산을 통해 승리 영역을 계산한다.
• 결정화 정보를 해결함으로써 유한 도메인을 최적화하여 존재성 플레이어가 분석 내부에서 비결정성을 처리할 수 있도록 한다.
• 전략 합성 문제를 소유권과 수락 조건을 유지하는 고차원 재귀 체계에서의 게임으로 환원한다.
• k-반복 푸시다운 오차마타와 고차원 체계 사이의 대응 관계를 설정하여 (k+1)EXP-난이도를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비결정적 사양을 가진 고차원 포함 게임에서 승리 영역의 직접적 고정점 계산을 가능하게 하는 도메인을 구성할 수 있는가?
• RQ2 오차마타 상태에 대한 무한 부울 공식을 추상화할 때 표현력을 잃지 않고도 유한 도메인으로 변환할 수 있는가?
• RQ3 결과적으로 도출된 알고리즘이 순서-k 재귀 체계에 대해 최적의 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 비용이 많이 드는 사전 계산(예: 결정화) 없이 사양 내의 비결정성은 분석 내에서 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ5 고차원 재귀 체계에서의 두 플레이어 포함 게임을 해결하는 정확한 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 도메인은 도달 가능성 게임으로의 환원 없이도 표준 기법을 사용하여 승리 영역의 직접적 고정점 계산을 가능하게 한다.
• 추상 해석을 통한 유한 추상화는 순서-k 재귀 체계에 대해 (k+1)EXP 알고리즘을 도출한다.
• 논문에서 일치하는 (k+1)EXP-난이도 하한선을 증명함으로써 알고리즘이 최적임을 입증한다.
• 이 방법은 사전 결정화나 곱 구조를 요구하지 않고도 비결정적 사양을 내재적으로 다룬다.
• 이 방법은 사양 크기에 따라 의존하므로 Podelski의 루프에서 반복적으로 사용 가능하며, 전반적인 프로그램 계산보다 비용이 많이 들지 않는다.
• 구성 과정은 k-반복 푸시다운 오차마타와 고차원 체계 사이의 엄밀한 대응 관계를 확립하여 난이도 증명을 가능하게 한다.