[논문 리뷰] Dominance Move: A Measure of Comparing Solution Sets in Multiobjective Optimization

Miqing Li, Xin Yao|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 01.

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms참고 문헌 36인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다목적 최적화에서 해 집합을 비교하기 위한 새로운 이진 품질 측정법인 지배 이동(Dominance Move, DoM)을 소개한다. DoM은 한 집합이 다른 집합을 약한 파레토 지배하기 위해 필요한 최소 총 이동량을 수량화하며, 기준점이나 문제에 특화된 파rameter가 필요로 하지 않게 되어 수렴성, 다양성, 균일성, 기수를 모두 반영한다. 이 측정법은 파레토 호환성과 직관적인 해 집합 간 차이를 반영하며, 기준 테스트 케이스에서 기존 측정법보다 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

One of the most common approaches for multiobjective optimization is to generate a solution set that well approximates the whole Pareto-optimal frontier to facilitate the later decision-making process. However, how to evaluate and compare the quality of different solution sets remains challenging. Existing measures typically require additional problem knowledge and information, such as a reference point or a substituted set of the Pareto-optimal frontier. In this paper, we propose a quality measure, called dominance move (DoM), to compare solution sets generated by multiobjective optimizers. Given two solution sets, DoM measures the minimum sum of move distances for one set to weakly Pareto dominate the other set. DoM can be seen as a natural reflection of the difference between two solutions, capturing all aspects of solution sets' quality, being compliant with Pareto dominance, and does not need any additional problem knowledge and parameters. We present an exact method to calculate the DoM in the biobjective case. We show the necessary condition of constructing the optimal partition for a solution set's minimum move, and accordingly propose an efficient algorithm to recursively calculate the DoM. Finally, DoM is evaluated on several groups of artificial and real test cases as well as by a comparison with two well-established quality measures.

연구 동기 및 목표

• 기준 집합이나 문제 지식이 제공되지 않을 경우에도 다목적 최적화에서 해 집합을 평가하고 비교하는 데 도전하는 데 초점을 맞춘다.
• 해 집합의 수렴성, 다양성, 균일성, 기수를 종합적으로 반영할 수 있는 품질 측정법을 개발하는 것.
• 기존 측정법에서 관찰되는 지배 관계와의 일관성 문제를 피하기 위해 측정법이 파레토 호환성임을 보장하는 것.
• 기준점, 이상점, 사용자 정의 파rameter와 같은 외부 입력에 의존성을 제거하는 것.
• 특히 이목적 경우에서 해 집합을 비교하는 데 직관적이고 계산 가능성이 높은 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• DoM은 한 해 집합의 점들을 이동시켜 결과적으로 다른 집합을 약한 파레토 지배하기 위해 필요한 유클리드 거리의 최소 합으로 정의된다.
• 이목적 경우에 대해 정확한 알고리즘을 제안하며, 동일한 그룹에 속한 점들이 함께 이동할 수 있도록 해 집합을 최적의 파artition로 나누는 데 기반한다.
• 이 방법은 이목적 경우에서 해와 그 내부 이웃이 최적 파artition에서 항상 같은 그룹에 속한다는 핵심 통찰에 의존한다.
• 해 집합의 기하학적 구조를 활용하여, 두 차원에서의 효율적인 DoM 계산을 위한 재귀 알고리즘을 설계하였다.
• 기준점이나 문제에 특화된 파rameter에 의존하지 않아 보편적으로 적용 가능하다.
• 인공 및 실제 문제 테스트 케이스를 대상으로 체계적인 실험을 통해 방법을 검증하였으며, 0–1 배낭 문제와 ZDT3 문제를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기준점이나 문제에 특화된 파rameter가 필요로 하지 않는 품질 측정법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 해 집합 비교에서 수렴성, 다양성, 균일성, 기수를 종합적으로 반영할 수 있는 측정법은 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ3 제안된 측정법은 파레토 지배와 일관성을 유지하는가, 즉 직관에 어긋나는 순위 매기기를 피할 수 있는가?
• RQ4 기존 측정법이 실패할 수 있는 경우, 예를 들어 불연속적인 파레토 프론티어나 비대칭적인 공간 분포를 가진 경우, DoM 측정법은 해 집합을 효과적으로 구별할 수 있는가?
• RQ5 이목적 경우에서 DoM을 효율적으로 계산할 수 있는 알고리즘이 존재하는가, 그리고 이는 고차원으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• DoM은 외부 문제 지식이 필요 없이 해 집합 품질의 핵심 요소인 수렴성, 다양성, 균일성, 기수를 모두 효과적으로 반영한다.
• 이목적 경우에서 DoM는 최적 파artition를 기반으로 한 재귀 알고리즘을 통해 정확하게 계산 가능하며, 이웃한 해들이 항상 동일한 그룹에 속한다는 기하학적 성질을 활용한다.
• 이목적 0–1 배낭 문제에서 DoM는 MOEA/D의 뛰어난 다양성을 정확히 반영하여, NSGA-II에서 MOEA/D로의 DoM 값을 285로 측정했고, 반대로는 1244로 측정하였다.
• 불연속적인 파레토 프론티어를 가진 연속적인 ZDT3 문제에서 DoM는 NSGA-II의 해 집합이 MOEA/D의 해 집합보다 더 높은 순위를 차지함을 정확히 반영하였으며, DoM 값은 각각 0.082와 0.163이었다.
• 기준점 민감성 또는 제한된 지배 정보로 인해 잘못된 순위 매기기가 발생하는 경우, 기존의 히퍼볼륨 및 ε-지표와 같은 전통적 측정법보다 DoM이 더 뛰어난 성능을 보였다.
• 이 방법은 파레토 호환성이다: 집합 A가 집합 B를 약하게 지배한다면, DoM(A,B)는 항상 DoM(B,A)보다 작다. 이는 비교 시 논리적 일관성을 보장한다.