[논문 리뷰] Dominant dimension and tilting modules

Van C. Nguyen, Idun Reiten외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 아르틴 대수에서 프로젝티브-인젝티브 모듈의 생성 및 코생성에 의해 생성되는 타일팅 모듈이 존재함과 동시에 그 주 dominant 차원이 2 이상임과 동치임을 증명한다. 이는 전반적인 차원에 관계없이 성립한다. 주요 기여는 이러한 타일팅 모듈 및 그 엔도모르피즘 대수의 특성화이며, 아우살러 대수, 1-Auslander-Gorenstein 대수, 삼각행렬 대수, 나카야마 대수에 응용된다.

ABSTRACT

We study which algebras have tilting modules that are both generated and cogenerated by projective-injective modules. Crawley-Boevey and Sauter have shown that Auslander algebras have such tilting modules; and for algebras of global dimension $2$, Auslander algebras are classified by the existence of such tilting modules. In this paper, we show that the existence of such a tilting module is equivalent to the algebra having dominant dimension at least $2$, independent of its global dimension. In general such a tilting module is not necessarily cotilting. Here, we show that the algebras which have a tilting-cotilting module generated-cogenerated by projective-injective modules are precisely $1$-Auslander-Gorenstein algebras. When considering such a tilting module, without the assumption that it is cotilting, we study the global dimension of its endomorphism algebra, and discuss a connection with the Finitistic Dimension Conjecture. Furthermore, as special cases, we show that triangular matrix algebras obtained from Auslander algebras and certain injective modules, have such a tilting module. We also give a description of which Nakayama algebras have such a tilting module.

연구 동기 및 목표

• 프로젝티브-인젝티브 모듈에 의해 생성되고 코생성되는 부분분류에서 타일팅 모듈을 갖는 아르틴 대수를 특성화하는 것.
• 전반적인 차원에 관계없이 이러한 타일팅 모듈가 존재하는 정확한 조건을 규명하는 것.
• 이 부분분류에서 동시에 타일팅 및 코타일팅 모듈을 갖는 대수의 집합을 식별하고, 이를 1-Auslander-Gorenstein 대수와 연결하는 것.
• 이러한 타일팅 모듈의 엔도모르피즘 대수의 전반적 차원과 Finitistic Dimension 추측 간의 관계를 연구하는 것.
• 특수한 클래스, 특히 삼각행렬 대수와 나카야마 대수에 대해 명시적인 구성과 특성화를 제공하는 것.

제안 방법

• 모든 불가약 프로젝티브-인젝티브 모듈의 직합인 $\widetilde{Q}$를 고려하여 부분분류 $\mathcal{C}_\Lambda = \operatorname{Gen}\widetilde{Q} \cap \operatorname{Cogen}\widetilde{Q}$를 정의한다.
• 프로젝티브 및 인젝티브 모듈의 호모로지 조건을 이용하여 $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$와 $\mathcal{C}_\Lambda$ 내의 타일팅 모듈 존재성 간의 동치를 확립한다.
• 타일팅 모듈을 $T_\mathcal{C} \simeq \widetilde{Q} \oplus \bigoplus_i \Omega^{-1}P_i$로 구성하며, 여기서 $P_i$는 불가약 프로젝티브 비인젝티브 모듈을 뜻한다.
• 심지어 기하학적 성질과 코심플렉스를 이용하여 타일팅 모듈을 대수의 Kupisch 시리즈와 허용 가능한 수열에 따라 명시적으로 기술한다.
• 나카야마 대수 이론을 적용하여 Kupisch 시리즈와 허용 가능한 수열을 분석함으로써 dominant 차원 ≥2 조건을 도출한다.
• 인덱스 $j - c_j$에 대한 조합적 조건과 $\mathcal{P}_c$ 및 $\mathcal{Q}_c$ 내 포함관계를 이용하여 $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$인 대수를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아르틴 대수가 자신의 프로젝티브-인젝티브 모듈에 의해 생성되고 코생성되는 부분분류에서 타일팅 모듈을 갖기 위한 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 타일딩 모듈의 존재성이 대수의 dominant 차원과 어떻게 관련되어 있는가? 특히 전반적인 차원이 유계가 아님을 가정하지 않을 경우에 대해 설명하라.
• RQ3 어느 대수가 동시에 타일딩 및 코타일딩 모듈을 갖는가? 이 모듈은 프로젝티브-인젝티브 모듈에 의해 생성되고 코생성된다.
• RQ4 이러한 타일딩 모듈의 엔도모르피즘 대수의 구조는 어떠한가? 그리고 그 전반적 차원은 Finitistic Dimension 추측과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 나카야마 대수의 Kupisch 시리즈 또는 허용 가능한 수열에 대해 dominant 차원이 2 이상이 되기 위한 정확한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모듈 $\mathcal{C}_\Lambda$ 내에 타일딩 모듈이 존재하는 것은 전반적 차원과 무관하게 $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$와 동치이다.
• $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$일 때, 타일딩 모듈 $T_\mathcal{C}$는 $\widetilde{Q} \oplus \bigoplus_i \Omega^{-1}P_i$와 동형이며, 여기서 $P_i$는 불가약 프로젝티브 비인젝티브 모듈을 뜻한다.
• 모듈 $\mathcal{C}_\Lambda$ 내에서 타일딩-코타일딩 모듈을 갖는 대수는 정확히 1-Auslander-Gorenstein 대수이다.
• 나카야마 대수의 경우, $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$이면 $\mathcal{P}_c \subseteq \{j - c_j \mid j \in \mathcal{Q}_c\}$이 성립하며, 여기서 $\mathcal{P}_c$ 및 $\mathcal{Q}_c$는 Kupisch 시리즈를 통해 정의된다.
• 순환 나카야마 대수의 경우, $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$이면 프로젝티브 모듈의 집합 $\mathcal{P}_c$가 집합 $\{j - c_j \mid j \in \mathcal{Q}_c\}$에 포함되어야 한다.
• 선형 나카야마 대수의 경우, 동일한 포함 조건이 dominant 차원이 2 이상임을 특성화하며, 타일딩 모듈 $T\mathcal{C}$는 특정 사회와 길이를 갖는 프로젝티브 모듈과 유일성 모듈의 직합으로 명시적으로 기술된다.