[论文解读] Dorfman connections and Courant algebroids

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文将Dorfman联络引入为Courant代数群胚上线性联络的推广，其方式类似于联络与李代数群胚之间的关系。本文证明了庞特里亚金丛 $TE \oplus T^*E$ 的线性截面与 $E \oplus T^*M$ 上的Dorfman联络一一对应，并利用该框架刻画了 $TE \oplus T^*E$ 上的标准Courant代数群胚结构，同时研究了在李代数群胚 $A$ 上的 $TA \oplus T^*A$ 的截面，包括同伦意义下的表示以及VB-和LA-Dirac结构。

ABSTRACT

We define Dorfman connections, which are to Courant algebroids what connections are to Lie algebroids. Several examples illustrate this analogy. A linear connection $ abla\colon \mathfrak{X}(M) imesΓ(E) oΓ(E)$ on a vector bundle $E$ over a smooth manifold $M$ is tantamount to a linear splitting $TE\simeq T^{q_E}E\oplus H_ abla$, where $T^{q_E}E$ is the set of vectors tangent to the fibres of $E$. Furthermore, the curvature of the connection measures the failure of the horizontal space $H_ abla$ to be integrable. We show that linear horizontal complements to $T^{q_E}E\oplus (T^{q_E}E)^\circ$ in the Pontryagin bundle over the vector bundle $E$ can be described in the same manner via a certain class of Dorfman connections $Δ\colon Γ(TM\oplus E^*) imesΓ(E\oplus T^*M) oΓ(E\oplus T^*M)$. Similarly to the tangent bundle case, we find that, after the choice of a linear splitting, the standard Courant algebroid structure of $TE\oplus T^*E o E$ can be completely described by properties of the Dorfman connection. As an application, we study splittings of $TA\oplus T^*A$ over a Lie algebroid $A$ and, following Gracia-Saz and Mehta, we compute the representations up to homotopy defined by any linear splitting of $TA\oplus T^*A$ and the linear Lie algebroid $TA\oplus T^*A o TM\oplus A^*$. Further, we characterise VB- and LA-Dirac structures in $TA\oplus T^*A$ via Dorfman connections.

研究动机与目标

• 在Courant代数群胚的背景下，定义并形式化Dorfman联络作为线性联络的自然推广。
• 建立 $TE \oplus T^*E$ 的线性截面与 $E \oplus T^*M$ 上Dorfman联络之间的一一对应关系。
• 利用Dorfman联络的性质，刻画 $TE \oplus T^*E$ 上的标准Courant代数群胚结构。
• 研究李代数群胚 $A$ 的提升结构 $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$，包括其李代数群胚结构及其相关的同伦意义下的表示。
• 通过Dorfman联络框架对 $TA \oplus T^*A$ 中的VB-Dirac和LA-Dirac结构进行分类。

提出的方法

• 将Dorfman联络 $\Delta: \Gamma(TM \oplus E^*) \times \Gamma(E \oplus T^*M) \to \Gamma(E \oplus T^*M)$ 定义为Bott联络在Courant代数群胚上的推广。
• 通过 $T^{q_E}E \oplus (T^{q_E}E)^\circ$ 的水平补空间，建立 $TE \oplus T^*E$ 的线性截面与 $E \oplus T^*M$ 上Dorfman联络之间的一一对应关系。
• 利用 $TE \oplus T^*E$ 上的典范配对、导出映射以及Courant-Dorfman括号，从Dorfman联络重构标准Courant代数群胚结构。
• 将该框架应用于提升结构 $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$，证明其李代数群胚结构由线性截面诱导的Dorfman联络所决定。
• 将 $TA \oplus T^*A$ 中的VB-Dirac和LA-Dirac结构表征为在Dorfman联络下不变且与Courant括号兼容的子丛。
• 利用Dorfman联络及其诱导的李代数群胚结构，显式计算任意线性截面 $TA \oplus T^*A$ 对应的同伦意义下的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将李代数群胚上的联络推广至Courant代数群胚？在此设定下，曲率的对应结构是什么？
• RQ2 $TE \oplus T^*E$ 的线性截面与 $E \oplus T^*M$ 上Dorfman联络之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 Dorfman联络如何编码 $TE \oplus T^*E$ 上完整的Courant代数群胚结构？
• RQ4 $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$ 上的李代数群胚结构是什么？它如何由Dorfman联络确定？
• RQ5 哪些VB-和LA-Dirac结构出现在 $TA \oplus T^*A$ 中？它们如何通过Dorfman联络表征？

主要发现

• $TE \oplus T^*E$ 的线性截面与 $E \oplus T^*M$ 上的Dorfman联络 $\Delta$ 之间存在精确的一一对应关系。
• $TE \oplus T^*E$ 上的标准Courant代数群胚结构完全由其关联Dorfman联络的性质决定，包括其导出映射、配对关系以及Courant-Dorfman括号。
• 提升结构 $TA \oplus T^*A \to TM \oplus A^*$ 从Dorfman联络诱导的线性截面中继承了李代数群胚结构，其括号通过Lie导数和导出映射计算得出。
• 任意线性截面 $TA \oplus T^*A$ 对应的同伦意义下的表示被显式计算，并证明其源于Dorfman联络的作用。
• $TA \oplus T^*A$ 中的VB-Dirac和LA-Dirac结构被表征为在Dorfman联络下不变且与Courant括号和配对兼容的子丛。
• $TA \oplus T^*A$ 上的李代数群胚括号可完全从Dorfman联络重构，基本截面如 $a^l$、$(a', \theta')^\dagger$ 及其组合的括号均有显式公式。