[논문 리뷰] Double complexes and vanishing of Novikov cohomology

Thomas Huettemann|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 이중 복합체에 대해 표준적이지 않은 총합 함자—좌측 및 우측 절단된 곱 함자—를 도입하여, 유한 생성 표현 모듈의 코체인 복합체 위의 자기사상 $ h $ 에 대한 대수적 매핑 토러스가 음의 노비코프 코homology 를 가지며, $ h $ 가 준위치사상이라면 양의 노비코프 코homology 도 가짐을 증명한다. 주요 응용으로, 라우렌트 다항식환 위의 유한적으로 지배되는 코체인 복합체가 음의 및 양의 노비코프 코homology 를 가지는 것을 새로운 간단한 증명으로 제시한다.

ABSTRACT

We consider a non-standard totalisation functor to produce a cochain complex from a given double complex: instead of sums or products, totalisation is defined via truncated products of modules. We give an elementary proof of the fact that a double complex with exact rows (resp, columns) yields an acyclic cochain complex under totalisation using right (resp, left) truncated products. As an application we consider the algebraic mapping torus T(h) of a self map h of a cochain complex C. We show that if C consists of finitely presented modules then T(h) has trivial negative Novikov cohomology; if in addition h is a quasi-isomorphism, then T(h) has trivial positive Novikov cohomology as well. As a consequence we obtain a new proof that a finitely dominated cochain complex over a Laurent polynomial ring has trivial Novikov cohomology.

연구 동기 및 목표

• 일변수 라우렌트 다항식환 위에서의 라니키 기준에 대한 새로운 간단한 증명을 확립하는 것.
• 새로운 총합 함자 함수를 통해 매핑 토러스의 노비코프 코homology 가 사라지는 조건을 조사하는 것.
• 매핑 토러스와 자기사상의 맥락에서 음의 노비코프 코homology 와 양의 노비코프 코homology 간의 비대칭성을 명확히 하는 것.
• 이중 복합체와 형식적 라우렌트 급수를 사용하여 유한적으로 지배되는 복합체를 분석할 수 있는 개념적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 이중 복합체에 대해 표준적인 직접 합 또는 곱 대신 좌측 및 우측 절단된 곱 총합 함자 함수를 도입한다.
• 형식적 라우렌트 급수 중 왼쪽으로만 유한한 지지 집합을 가지는 경우를 고려하여 $ R((z)) $ 와 $ R((z^{-1})) $ 을 노비코프 링으로 정의한다.
• 매핑 토러스 $ T(h) $ 를 이중 복합체 $ D^{*,*} $ 의 총복합체로 재표현하며, $ d^h $ 와 $ d^v $ 라는 미분을 갖는다. 이는 $ h $ 의 콘의 형태로 표현된다.
• 제1.2조를 적용: $ D^{*,*} $ 의 열(또는 행)이 정확하다면, $ {}^{ ext{lt}}\mathrm{Tot} \, D^{*,*} $ (또는 $ \mathrm{Tot}^{\text{rt}} \, D^{*,*} $) 는 약한 정확하다.
• 총합의 약한 정확성과 노비코프 코homology 를 연결하기 위해 $ C \otimes_R R((z^{-1})) \cong \mathrm{Tot}^{\text{rt}}(D^{*,*}) $ 와 $ C \otimes_R R((z)) \cong {}^\text{lt}\mathrm{Tot}(D^{*,*}) $ 를 이용한다.
• 정확성 조건 하에서 총합의 약한 정확성을 적용하여, $ h $ 와 그 변형에 대해 노비코프 코homology 가 사라짐을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기사상이 코체인 복합체 위에 작용할 때, 그 대수적 매핑 토러스가 음의 노비코프 코homology 를 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 그러한 매핑 토러스의 양의 노비코프 코homology 가 언제 사라지는가?
• RQ3 이중 복합체에 대한 절단된 총합 함자 함수를 어떻게 사용하여 노비코프 코homology 분석을 더 명확하게 할 수 있는가?
• RQ4 라우렌트 다항식환 위에서의 라니키 기준을 간단한 호모로지 대수학을 통해 재증명할 수 있는가?
• RQ5 매핑 토러스 맥락에서 음의 노비코프 코homology 와 양의 노비코프 코homology 간의 비대칭성은 무엇으로 설명되는가?

주요 결과

• 제1.2조에 따르면, $ D^{*,*} $ 의 열이 정확하다면 좌측 절단된 총합 $ {}^\text{lt}\mathrm{Tot} \, D^{*,*} $ 는 약한 정확하다.
• 제1.2조에 따르면, $ D^{*,*} $ 의 행이 정확하다면 우측 절단된 총합 $ \mathrm{Tot}^{\text{rt}} \, D^{*,*} $ 는 약한 정확하다.
• 만약 $ h $ 가 준위치사상이라면, 매핑 토러스 $ T(h) $ 는 양의 노비코프 코homology 가 자명하다. 왜냐하면 $ {}^\text{lt}\mathrm{Tot}(D^{*,*}) $ 가 약한 정확하기 때문이다.
• 매핑 토러스 $ T(h) $ 는 항상 음의 노비코프 코homology 가 자명하다. 왜냐하면 $ \mathrm{Tot}^{\text{rt}}(D^{*,*}) $ 는 $ h $ 와 무관하게 약한 정확하기 때문이다.
• 유한적으로 지배되는 코체인 복합체가 $ R[z,z^{-1}] $ 위에 존재할 경우, 음의 및 양의 노비코프 코homology 가 자명하다. 이는 매핑 토러스 구성과 총합의 약한 정확성에 의해 보여진다.
• 이 증명은 라니키의 원래 증거에 대한 새로운 간단한 대안을 제공한다. 유한적으로 지배되는 경우의 노비코프 코homology 가 사라짐을 증명하는 데에.