[논문 리뷰] Double ramification cycles on the moduli spaces of admissible covers

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한군 작용을 가진 $\mathbb{P}^1$-스택 $[\mathbb{P}^1/G]$에 대한 스택형 듀얼 라미피케이션 사이클 $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$의 공식을 유도한다. 이는 Pixton의 공식을 $BG$ 위의 안정적 매핑의 모듈리 공간으로 일반화한 것이다. 가상 국소화와 에퀴바리언트 기법을 사용하여, $[\mathbb{P}^1/G]$의 상대적 곰포워터 인버리언트가 알려진 $BG$의 곰포워터 이론과 유도된 사이클 공식에 의해 완전히 결정됨을 보였다.

ABSTRACT

We derive a formula for the virtual class of the moduli space of rubber maps to $[\mathbb{P}^1/G]$ pushed forward to the moduli space of stable maps to $BG$. As an application, we show that the Gromov-Witten theory of $[\mathbb{P}^1/G]$ relative to $0$ and $\infty$ are determined by known calculations.

연구 동기 및 목표

• 유한군 작용을 가진 $[\mathbb{P}^1/G]$의 $\mathbb{P}^1$-스택 설정으로 Pixton의 듀얼 라미피케이션 사이클 공식을 일반화하는 것.
• $[\mathbb{P}^1/G]$의 $[0/G]$ 및 $[\infty/G]$의 오비포인트에 대한 상대적 곰포워터 인버리언트를 연구하는 것.
• 이 상대적 인버리언트가 스택형 듀얼 라미피케이션 사이클과 $BG$의 곰포워터 이론에 의해 완전히 결정됨을 확립하는 것.
• 가상 국소화 기법을 스택형 러버 맵으로 확장하고, 가상 클래스의 $\overline{M}_{g,n}(BG)$로의 프로젝션을 계산하는 것.

제안 방법

• 스태이블 매핑의 러버 맵 모듈리 공간의 가상 클래스의 프로젝션으로서 스택형 듀얼 라미피케이션 사이클 $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$를 정의한다.
• $[\mathbb{P}^1/G]$의 $\mathbb{C}^*$-에퀴바리언트 구조에 대해 가상 국소화를 적용하여, 고정점의 기여도로 가상 클래스를 분해한다.
• 에퀴바리언트 오일러 클래스와 $c_d(-L_{g,n}^{1/r})$의 생성함수를 사용하여 안정 정점, 노드, 타겟 분열의 기여도를 계산한다.
• 가상 프로젝션에서 $s^0 r^0$ 계수를 분석하여 비에퀴바리언트 극한을 추출한다. 여기서 $s = tr$이다.
• 가상 프로젝션에서 $s^0 r^0$ 계수가 0이 되는 것을 이용하여 $DR_g^G(A)$에 대한 공식을 $\hat{c}_g = r^{2g-2} \epsilon_* c_g(-L_{g,n}^{1/r})$의 표현으로 유도한다.
• 큰 $r$에 대해 $\hat{c}_g$가 $r$에 대한 다항식임을 이용하여 형식적 멱급수 기법을 통해 계수 추출을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한군 작용을 가진 $[\mathbb{P}^1/G]$의 오비포인트 설정에서 Pixton의 듀얼 라미피케이션 사이클 공식을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 0과 $\infty$에 대한 상대적 러버 맵 모듈리 공간의 가상 클래스는 어떤 구조를 가지는가?
• RQ3 상대적 곰포워터 인버리언트가 스택형 듀얼 라미피케이션 사이클에 의해 얼마나 완전히 결정되는가?
• RQ4 가상 국소화 기법은 스택형 러버 맵에 어떻게 적용되며, 노드와 타겟 분열의 기여도는 무엇인가?
• RQ5 $\mathbb{C}^*$-에퀴바리언트 프로젝션을 통해 가상 클래스의 비에퀴바리언트 공식을 추출할 수 있는가?

주요 결과

• 스택형 듀얼 라미피케이션 사이클 $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$는 $A^g(\overline{M}_{g,n}(BG))$에서 $DR_g^G(A) = a^{l(\mu_\infty) - l(\mu_0)} \cdot \mathrm{Coeff}_{r^0}[r \cdot \epsilon_* c_g(-L_{g,n}^{1/r})]$로 주어진다.
• 만약 $G = \{1\}$이면, 이 공식은 Pixton의 원래 듀얼 라미피케이션 사이클 공식으로 축소된다.
• 상대적 곰포워터 이론 $([\mathbb{P}^1/G], [0/G])$와 $([\mathbb{P}^1/G], [0/G] \cup [\infty/G])$는 유도된 공식과 알려진 $BG$의 곰포워터 이론에 의해 완전히 결정된다.
• 러버 맵 공간의 가상 클래스는 비에퀴바리언트 극한을 가지며, 에퀴바리언트 프로젝션에서 $t^{-1}$ 계수의 계수가 0이 되어 $r^0$ 항을 추출할 수 있다.
• 0에서의 안정 정점과 타겟 분열의 기여도는 각각 최소 하나의 $r$의 양의 거듭제곱을 기여하므로, $r^0$ 계수에 영향을 주는 그래프는 오직 두 개뿐이다.
• 최종 공식은 $L_{g,n}^{1/r}$의 쌍대 선다발의 총 캐런 클래스의 프로젝션에서 $r^0$ 계수를 표현함으로써, $\overline{M}_{g,n}(BG)$ 위의 타우톨로지 클래스와 깊은 연결을 보여준다.