[论文解读] Doubling constructions: Global functoriality for non-generic cuspidal representations
该论文通过广义加倍法，建立了分裂经典群与一般自旋群上非典型 cuspidal 自守表示的全局函子性，证明了在高度分歧的 Hecke 特征标作用下，完备 L 函数是整函数。结合逆定理，作者提供了弱函子性转移至 GLN 的新证明，该证明不依赖于迹公式，从而将先前结果推广至非典型情形。
We study the generalized doubling method for pairs of representations of $G imes GL_k$ where $G$ is a symplectic group, split special orthogonal group or split general spin group. We analyze the poles of the local integrals, and prove that the global completed $L$-function with a cuspidal representation of $GL_k$ twisted by a highly ramified Hecke character is entire. We obtain a new proof of the weak functorial transfer of cuspidal automorphic representations of $G$ to the natural general linear group, which is independent of the trace formula and its prerequisites, by combining our results with the Converse Theorem.
研究动机与目标
- 建立分裂辛群、特殊正交群及一般自旋群上非典型 cuspidal 自守表示的全局函子性。
- 证明当 GLk 的 cuspidal 表示被高度分歧的 Hecke 特征标扭时，其完备 L 函数是整函数。
- 提供一种新的、不依赖于迹公式的弱函子性转移至 GLN 的证明。
- 通过扭 γ-因子，定义并分析从 G(Fν) 的局部表示到 GLN(Fν) 的“粗略转移”。
- 证明任意弱函子性转移的超临界支撑在几乎所有有限素点上均由局部表示唯一确定。
提出的方法
- 利用广义加倍法，构造与 G(A) × GLk(A) 上自守形式相关的全局积分。
- 通过扭 γ-因子分析局部积分的极点，建立全局 L 函数的亚纯延拓。
- 通过证明临界带内无极点，证明在高度分歧 Hecke 特征标作用下，完备 L 函数是整函数。
- 应用逆定理，从 L 函数的解析性质及某些积分的非零性推导出全局函子性。
- 通过在阿基米德与非阿基米德域上的连续性与绝对收敛性论证，确立积分的解析行为。
- 通过扭 γ-因子在局部层面定义“粗略转移”，将全局弱函子性转移与局部表示理论联系起来。
实验结果
研究问题
- RQ1是否可以不依赖迹公式，建立分裂经典群与一般自旋群上非典型 cuspidal 自守表示向 GLN 的弱函子性转移？
- RQ2当 GLk 的 cuspidal 表示被高度分歧的 Hecke 特征标扭时，其完备 L 函数的解析行为如何？
- RQ3通过扭 γ-因子定义的局部粗略转移如何与全局弱函子性转移相关联？
- RQ4全局弱函子性转移的超临界支撑是否由几乎所有有限素点上的局部表示唯一确定？
- RQ5能否应用逆定理，通过加倍法与 L 函数的解析性质证明全局函子性？
主要发现
- 当 τ 是 GLk 的 cuspidal 表示并被高度分歧的 Hecke 特征标扭时，完备 L 函数 L(s, π × τ) 是整函数。
- 从 G(A) 到 GLN(A) 的全局弱函子性转移存在，且不依赖于迹公式及其前提条件。
- 通过扭 γ-因子定义了从 G(Fν) 的局部表示到 GLN(Fν) 的“粗略转移”，且该转移始终存在。
- 对任意弱函子性转移 Π，其在所有有限素点 ν 处的超临界支撑由 πν 唯一确定。
- 对某些矩阵系数 ω 与 Whittaker 泛函 W，积分 Z(s, ω, W)/L(s, π × τ) 非零（可能含极点），从而确保逆定理所需的非零性。
- 该方法表明，全局 L 函数具有亚纯延拓及足够强的解析性质，可通过逆定理推出函子性。
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