[논문 리뷰] Drawing Planar Graphs with Many Collinear Vertices

Giordano Da Lozzo, Vida Dujmović외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 13.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 모든 $n$-정점 평면 그래프 중에서 트리너비가 3 이하인 그래프와 모든 $n$-정점 삼접속 3-정점 평면 그래프가 각각 $\lceil(n-3)/8\rceil$ 및 $\lceil n/4 \rceil$ 개의 공선점을 갖는 평면 직선 도형을 갖는다는 것을 증명한다. 이러한 결과는 선형 크기의 공선점 집합을 더 넓은 그래프 클래스로 확장하며, 유계 트리너비 및 유계 차수 평면 그래프에 대한 열린 문제를 해결하고, 풀어내기, 유니버설 부분집합, 열(planarity)에 대한 개선된 경계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Consider the following problem: Given a planar graph $G$, what is the maximum number $p$ such that $G$ has a planar straight-line drawing with $p$ collinear vertices? This problem resides at the core of several graph drawing problems, including universal point subsets, untangling, and column planarity. The following results are known for it: Every $n$-vertex planar graph has a planar straight-line drawing with $Ω(\sqrt{n})$ collinear vertices; for every $n$, there is an $n$-vertex planar graph whose every planar straight-line drawing has $O(n^σ)$ collinear vertices, where $σ<0.986$; every $n$-vertex planar graph of treewidth at most two has a planar straight-line drawing with $Θ(n)$ collinear vertices. We extend the linear bound to planar graphs of treewidth at most three and to triconnected cubic planar graphs. This (partially) answers two open problems posed by Ravsky and Verbitsky [WG 2011:295--306]. Similar results are not possible for all bounded treewidth planar graphs or for all bounded degree planar graphs. For planar graphs of treewidth at most three, our results also imply asymptotically tight bounds for all of the other above mentioned graph drawing problems.

연구 동기 및 목표

• 주어진 평면 그래프의 평면 직선 도형에서 공선점으로 만들 수 있는 정점의 최대 수를 결정하는 것.
• 기존의 트리너비-2 그래프에서의 선형 경계를 트리너비-3 평면 그래프와 삼접속 3-정점 평면 그래프로 확장하는 것.
• Ravsky와 Verbitsky가 제기한, 유계 트리너비 및 유계 차수 평면 그래프에서 선형 크기의 자유 공선점 집합이 존재하는지에 대한 열린 문제를 다루는 것.
• 풀어내기, 유니버설 점 부분집합, 열(planarity)와 같은 관련 그래프 도형 문제에 대해 더 견고한 경계를 설정하는 것.
• 일반 평면 그래프에서 모든 공선점 집합이 자유 공선점 집합인가를 조사하고, 3-트리에서 공선점 정점 수를 최대화하는 계산 복잡도를 탐색하는 것.

제안 방법

• 공선점 집합과 이중 그래프의 장주기 사이의 이중성 관계를 활용하여, 트리너비-3 및 삼접속 3-정점 평면 그래프의 이중 그래프의 구조적 성질을 분석한다.
• 3-트리의 재귀적 구조에 기반한 동적 프로그래밍을 적용하여 평면 직선 도형에서 공선 내부 정점의 최대 수를 계산한다.
• 외부 면을 가로지르는 곡선의 성질을 특성화하여, 외부 면을 가로지르는 데 가능한 여섯 가지 서로 다른 위상적 유형의 곡선을 정의하고, 각각이 지나갈 수 있는 내부 정점의 최대 수를 추적한다.
• 모든 3-트리에서 공선점 집합이 자유 공선점 집합이 됨을 증명하여, 풀어내기 및 유니버설 부분집합에 대한 더 강력한 응용을 가능하게 한다.
• 모든 $n$-정점 평면 그래프 중 트리너비가 $k$인 경우, 크기가 $\Omega(k^2)$인 공선점 집합이 존재함을 증명하며, $k = \omega(n^{1/4})$일 때 일반적인 $\Omega(\sqrt{n})$ 경계를 향상시킨다.
• 최대 평면 그래프의 이중 그래프에서 순환 길이에 관한 기존 결과를 응용하여, 특히 삼각분할 그래프에 대해 공선점 집합의 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $n$-정점 평면 그래프 중 트리너비가 3 이하인 그래프는 $\Omega(n)$ 개의 공선점 정점을 갖는 평면 직선 도형으로 그릴 수 있는가?
• RQ2 모든 삼접속 3-정점 평면 그래프는 $\Omega(n)$ 개의 공선점 정점을 갖는 평면 직선 도형으로 그릴 수 있는가?
• RQ3 모든 유계 트리너비 평면 그래프에서 선형 크기의 자유 공선점 집합을 얻을 수 있으며, 그에 대한 부분선형 행동의 임계값은 무엇인가?
• RQ4 모든 평면 그래프에서 공선점 집합이 자유 공선점 집합에 해당하는가? 이들의 크기는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 3-트리에서 공선점 정점의 최대 수는 다항 시간 내에 계산할 수 있으며, 이 경계 $\lceil(m+2)/3\rceil$ 는 모든 $m$ 에 대해 날카로운가?

주요 결과

• 모든 $n$-정점 평면 그래프 중 트리너비가 3 이하인 그래프는 크기가 $\lceil(n-3)/8\rceil$ 인 자유 공선점 집합을 갖는다. 이는 트리너비-2 그래프에서의 선형 경계를 확장한 것이다.
• 모든 $n$-정점 삼접속 3-정점 평면 그래프는 크기가 $\lceil n/4 \rceil$ 인 공선점 집합을 갖는다. 이는 비자명한 유계 차수 평면 그래프 클래스에 대해 첫 번째 선형 경계를 제공한다.
• 모든 $n$-정점 평면 그래프 중 트리너비가 $k$인 경우, 크기가 $\Omega(k^2)$ 인 공선점 집합이 존재한다. 이는 $k = \omega(n^{1/4})$ 일 때 일반적인 $\Omega(\sqrt{n})$ 경계를 향상시킨다.
• 3-트리에서 공선점 정점의 최대 수는 외부 면을 가로지르는 여섯 가지 곡선 유형에 기반한 동적 프로그래밍을 통해 다항 시간 내에 계산할 수 있다.
• 경험적 증거는 모든 $n$-정점 3-트리가 $\lceil(n+2)/3\rceil$ 개의 공선 내부 정점을 갖는 도형을 가질 수 있음을 시사하며, 이 경계는 $n \leq 50$ 일 때 날카로운 것으로 밝혀졌다.
• 결과적으로, 트리너비가 3 이하인 평면 그래프에서 풀어내기, 유니버설 점 부분집합, 열(planarity)에 대해 점근적으로 날카로운 경계를 암시한다.