[논문 리뷰] Drift and meander of spiral waves

A. J. Foulkes|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 41인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대칭 몫 시스템과 특이 섭동 기법을 사용하여 나선파에서 이탈과 기어임 동역학을 통합하는 渐近 이론을 개발한다. 이는 이전의 강체로 도는 나선파와 준주기적 기어임에 대한 연구를 확장한 것으로, 핵심 기여는 기어임 나선파의 이동을 정확하게 예측할 수 있는 통합 프레임워크를 제공하고, 반응 함수를 계산하기 위한 수치 수렴성 있는 방법을 개발한 데 있다.

ABSTRACT

In this thesis, we are concerned with the dynamics of spiral wave solutions to Reaction-Diffsion systems of equations, and how they behave when subject to symmetry breaking perturbations. We present an asymptotic theory of the study of meandering (quasiperiodic spiral wave solutions) spiral waves which are drifting due to symmetry breaking perturbations. This theory is based on earlier theories: the 1995 Biktashev et al theory of drift of rigidly rotating spirals, and the 1996 Biktashev et al theory of meander of spirals in unperturbed systems. We combine the two theories by first rewriting the 1995 drift theory using the symmetry quotient system method of the 1996 meander theory, and then go on to extend the approach to meandering spirals by considering Floquet theory and using a singular perturbation method. We demonstrate the work of the newly developed theory on simple examples. We also develop a numerical implementation of the quotient system method, demonstrate its numerical convergence and its use in calculations which would be difficult to do by the standard methods, and also link this study to the problem of calculation of response functions of spiral waves.

연구 동기 및 목표

• 기존의 나선파 이동 및 기어임 이론를 하나의 渐近 프레임워크로 통합하는 것.
• 대칭성 파괴 외부 힘 작용 하에서 준주기적 기어임 나선파 해의 이동을 예측하는 데 도전하는 것.
• 실제 계산에 활용 가능한 몫 시스템 방법의 수치적으로 안정된 구현을 개발하는 것.
• 이론적 프레임워크를 나선파 시스템에서 반응 함수 계산과 연결하는 것.

제안 방법

• 1995년 Biktashev 등이 제시한 이동 이론을 1996년 기어임 이론에서 유래한 대칭 몫 시스템 방법을 사용하여 재구성하는 것.
• 주기적 해를 위한 Floquet 이론을 통합하여 몫 시스템 접근법을 기어임 나선파에 확장하는 것.
• 대칭성 파괴 항이 존재하는 상황에서의 느린 이동 동역학을 분석하기 위해 특이 섭동 기법을 적용하는 것.
• 기본적인 이동 행동을 포착하는 대칭 몫 공간 위의 축소된 동역학 시스템을 유도하는 것.
• 몫 시스템을 수치적으로 구현하고 벤치마크 예제를 통한 수렴성 검증을 수행하는 것.
• 외부 힘에 대한 나선파의 선형 반응을 통해 프레임워크를 반응 함수 계산과 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭성 파괴 외부 힘 하에서 기어임 나선파의 이동을 渐近 방법을 사용해 체계적으로 분석할 수 있는가?
• RQ2 대칭 몫 시스템은 반응-확산 시스템에서 이동과 기어임 동역학을 통합하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 Floquet 이론은 몰입 시스템 프레임워크에 어떻게 통합되어 준주기적 기어임과 이동을 기술할 수 있는가?
• RQ4 몫 시스템 방법은 표준 방법에 비해 나선파 동역학 계산에서 어떤 수치적 이점이 있는가?
• RQ5 개발된 프레임워크를 사용해 나선파의 정확한 반응 함수를 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 통합 이론은 대칭 몫 시스템과 특이 섭동 분석을 결합하여 기어임 나선파의 이동을 성공적으로 예측한다.
• 몫 시스템 방법의 수치적 구현은 수렴성을 보이며, 기존 표준 수치적 접근 방식으로는 해결이 곤란한 계산을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 외부 힘에 대한 나선파의 반응 함수를 체계적으로 계산할 수 있는 길을 제공한다.
• 이 방법은 기어임 주파수와 대칭성 파괴 항 간의 결합이 기어임 나선파의 이동을 유도함을 드러낸다.
• 완전한 PDE 시뮬레이션의 복잡성을 줄이기 위해 동역학을 저차원 몰입 공간으로 투영하면서도 필수적인 동역학적 특성을 유지한다.
• 이론은 단순한 반응-확산 예제에서 검증되었으며, 기존 알려진 이동 행동과 일관되며 계산 효율성이 향상됨을 보였다.