[논문 리뷰] Drinfeld Centers and Morita Equivalence Classes of Fusion 2-Categories

Thibault D. Décoppet|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 분해 가능한 2-카테고리의 드린펠트 중심이 모리타 동치에 대해 불변임을 증명하며, 모든 분해 가능한 2-카테고리가 연결된 것과 모리타 동치임을 보이고, 강한 분해 가능한 2-카테고리와 가역적인 분해 가능한 2-카테고리의 곱과도 모리타 동치임을 보인다. 또한 모든 분해 가능한 2-카테고리가 분리 가능하며, 그 드린펠트 중심이 유한한 단순 2-카테고리임을 보이며, 분해 가능한 2-카테고리의 차원이 항상 0이 아님을 증명한다.

ABSTRACT

We prove that the Drinfeld center of a fusion 2-category is invariant under Morita equivalence. We go on to show that the concept of Morita equivalence between connected fusion 2-categories recovers exactly the notion of Witt equivalence between braided fusion 1-categories. A strongly fusion 2-category is a fusion 2-category whose braided fusion 1-category of endomorphisms of the monoidal unit is $\mathbf{Vect}$ or $\mathbf{SVect}$. We prove that every fusion 2-category is Morita equivalent to the 2-Deligne tensor product of a strongly fusion 2-category and an invertible fusion 2-category. We proceed to show that every fusion 2-category is Morita equivalent to a connected fusion 2-category. As a consequence, we find that every rigid algebra in a fusion 2-category is separable. This implies in particular that every fusion 2-category is separable. Conjecturally, separability ensures that a fusion 2-category is 4-dualizable. We define the dimension of a fusion 2-category, and prove that it is always non-zero. Finally, we show that the Drinfeld center of any fusion 2-category is a finite semisimple 2-category.

연구 동기 및 목표

• 분해 가능한 2-카테고리의 드린펠트 중심이 모리타 동치에 대해 불변임을 증명하는 것.
• 연결된 분해 가능한 2-카테고리의 모리타 동치가 그에 대응하는 브라운드 분해 가능한 1-카테고리의 위트 동치와 대응됨을 보이는 것.
• 모든 분해 가능한 2-카테고리가 연결된 분해 가능한 2-카테고리와 모리타 동치임을 보이는 것.
• 모든 분해 가능한 2-카테고리가 분리 가능하며, 그 드린펠트 중심이 유한한 단순 2-카테고리임을 확립하는 것.
• 분해 가능한 2-카테고리의 차원을 정의하고, 그 값이 0이 아님을 증명하는 것.

제안 방법

• 분해 가능한 2-카테고리의 모리타 이론을 활용하며, 이는 이전의 연구 [Déc21a, Déc21c, Déc23c, Déc23a]에 기반한다.
• 2-델라인 곱을 적용하여 분해 가능한 2-카테고리를 강한 분해 가능한 2-카테고리와 가역적인 분해 가능한 2-카테고리의 곱으로 분해한다.
• 연결된 분해 가능한 2-카테고리의 개념을 활용하며, 이는 브라운드 분해 가능한 1-카테고리 위의 모듈러 카테고리의 모듈러 카테고리와 동치인 카테고리로 정의된다.
• 분리 가능성의 특성화를 위해, 카테고리와 그 반대 카테고리의 텐서곱 위의 분리 가능한 대수 위의 모듈러 카테고리와의 이중 모듈러 등가를 활용한다.
• [DSPS21]과 [JFR23]의 결과를 활용하여 고차원 카테고리에서의 분리 가능성과 쌍대화 가능성 간의 관계를 규명한다.
• 군 코hom올로지와 4-코호몰로지류를 적용하여 2벡터 공간과 브라운드 분해 가능한 1-카테고리로 구성된 분해 가능한 2-카테고리의 모리타 동치류를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분해 가능한 2-카테고리의 드린펠트 중심은 모리타 동치에 대해 불변인가?
• RQ2 연결된 분해 가능한 2-카테고리의 모리타 동치는 그 기저가 되는 브라운드 분해 가능한 1-카테고리의 위트 동치와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 모든 분해 가능한 2-카테고리가 모리타 동치에 대해 강한 분해 가능한 2-카테고리와 가역적인 분해 가능한 2-카테고리의 곱으로 분해될 수 있는가?
• RQ4 모든 분해 가능한 2-카테고리가 분리 가능한가? 그리고 이는 4-쌍대화 가능성으로 이어지는가?
• RQ5 분해 가능한 2-카테고리의 차원은 무엇이며, 항상 0이 아닐까?

주요 결과

• 분해 가능한 2-카테고리의 드린펠트 중심은 모리타 동치에 대해 불변이며, 이는 분해 가능한 1-카테고리에 대한 이전 결과를 일반화한 것이다.
• 모든 분해 가능한 2-카테고리가 연결된 분해 가능한 2-카테고리와 모리타 동치임을 보이며, 이는 임의의 분해 가능한 2-카테고리의 드린펠트 중심이 유한한 단순 2-카테고리임을 의미한다.
• 분해 가능한 2-카테고리 내의 모든 강한 대수는 분리 가능하며, 그 결과로 모든 분해 가능한 2-카테고리가 분리 가능하다.
• 모든 분해 가능한 2-카테고리의 차원은 0이 아니며, 이는 TQFT 응용에 있어 핵심적인 성질이다.
• 분해 가능한 2-카테고리의 드린펠트 중심은 인수화된 브라운드 다중분해 가능한 2-카테고리이며, 중심과 그 반대 중심의 텐서곱에서 중심의 이중 중심으로 가는 표준적인 브라운드 함자와의 동치가 성립한다.
• 2벡터 공간과 브라운드 분해 가능한 1-카테고리로 구성된 분해 가능한 2-카테고리의 모리타 동치류는 군의 동형과 $H^4(G; ar{k}^ imes)$의 코호몰로지류로 분류되며, 외부 자동형사상의 몫을 취한다.