[논문 리뷰] Dual Bialgebroids for Depth Two Ring Extensions

Lars Kadison, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|2001. 08. 09.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 36인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $M|N$에 대한 일반화된 깊이 두 번째 개념을 도입하여, 이중 이중 대칭대수를 통한 단계 1 및 단계 3 중심자 간의 모리타 동치를 수립한다. 단계 2 중심자에서 왼쪽 및 오른쪽 이중대칭대수 $A$와 $B$를 구성하고, 비례 쌍이 없는 조건에서도 이들이 이중 약한 대칭대수임을 증명하며, 프로베누스 확장의 경우 $M|N$의 분리 가능성은 $A$ 또는 $B$의 $K$-분리 가능성과 동치임을 보이며, 유한성과 프로베누스 조건이 만족될 경우 $A$는 약한 호프 대칭대수로 변환된다.

ABSTRACT

We introduce a general notion of depth two for ring homomorphism N --> M, and derive Morita equivalence of the step one and three centralizers, R = C_M(N) and C = End_{N-M}(M ø_N M), via dual bimodules and step two centralizers A = End_NM_N and B = (M ø_N M)^N, in a Jones tower above N --> M. Lu's bialgebroids End_k A' and A' ø_k {A'}^op over a k-algebra A' are generalized to left and right bialgebroids A and B with B the R-dual bialgebroid of A. We introduce Galois-type actions of A on M and B on End_NM when M_N is a balanced module. In the case of Frobenius extensions M | N, we prove an endomorphism ring theorem for depth two. Further in the case of irreducible extensions, we extend previous results on Hopf algebra and weak Hopf algebra actions in subfactor theory [Szymanski, Nikshych-Vainerman] and its generalizations [Kadison-Nikshych: RA/0107064, RA/0102010] by methods other than nondegenerate pairing. As a result, we have concrete expressions for the Hopf or weak Hopf algebra structures on the step two centralizers. Semisimplicity of B is equivalent to separability of the extension M | N. In the presence of depth two, we show that biseparable extensions are QF.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 환 확장 $M|N$으로의 깊이 두 번째 개념의 일반화를 위해, 하위요소 이론을 초월하여 수행한다.
• 이중 이중 모듈과 중심자 $A$ 및 $B$를 사용하여 단계 1 중심자 $R$와 단계 3 중심자 $C$ 간의 모리타 동치를 수립한다.
• 단계 2 중심자에서 왼쪽 및 오른쪽 이중대칭대수 $A$와 $B$를 구성하고, 비례 쌍이 없는 조건에서도 이들이 이중 약한 대칭대수임을 증명한다.
• 프로베누스 깊이 두 번째 확장의 경우, $M|N$의 분리 가능성은 이중대칭대수 $A$ 또는 $B$의 $K$-분리 가능성과 동치임을 증명한다.
• 유한성과 프로베누스 조건이 만족될 경우 $A$가 약한 호프 대칭대수로 변환됨을 보이며, 하위요소 이론 및 양자 군단 이론의 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 환 준동형사상 $N\to M$에 대한 깊이 두 번째의 일반 정의를 도입하여, 하위요소 이론에서의 개념을 일반적인 환 확장으로 확장한다.
• 단계 1 중심자 $R = C_M(N)$, 단계 2 중심자 $A = \operatorname{End}_N M_N$ 및 $B = (M \otimes_N M)^N$, 단계 3 중심자 $C = \operatorname{End}_{N-M}(M \otimes_N M)$를 정의한다.
• 이중 이중 모듈 $A$와 $B$를 통해 $R$와 $C$ 간의 모리타 동치를 수립하며, $B$는 $A$의 $R$-이중으로 간주된다.
• 프로베누스 조건과 균형 잡힌 모듈 조건을 사용하여 $A$에 대한 왼쪽 이중대칭대수 구조와 $B$에 대한 오른쪽 이중대칭대수를 구성한다.
• 프로베누스 준동형사상 $\phi$를 통해 $\langle \cdot, \cdot \rangle: B \times A \to K$의 쌍을 정의하고, 이 쌍에 따라 $A$와 $B$가 이중 약한 대칭대수임을 증명한다.
• 특히 프로베누스 준동형사상 $E$로 주어지는 비퇴화된 왼쪽 적분이 존재함을 이용하여 [43, 정리 4.1]에 의해 $A$가 약한 호프 대칭대수임을 증명하며, 이는 이중적으로 $B$가 $A$의 이중 약한 호프 대칭대수임을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위요소 이론의 추적 또는 비퇴화된 쌍이 없는 조건에 의존하지 않고, 깊이 두 번째 개념을 일반적인 환 확장으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 깊이 두 번째 확장의 중심자 $A$ 및 $B$에 대해 직접적으로 이중대칭대수 구조를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 확장 $M|N$의 분리 가능성과 이중대칭대수 $A$ 및 $B$의 분리 가능성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 언제 $A$의 이중대칭대수 구조가 약한 호프 대칭대수로 변환되는가?
• RQ5 이중성 $A$와 $B$는 기존의 약한 호프 대칭대수 이론 및 양자 군단 이론의 결과를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 단계 1 중심자 $R = C_M(N)$과 단계 3 중심자 $C = \operatorname{End}_{N-M}(M \otimes_N M)$는 이중 이중 모듈 $A$와 $B$를 통해 모리타 동치이다.
• 프로베누스 준동형사상 $\phi$에 의한 쌍 $\langle b, a \rangle = \phi(b^1 a(b^2))$ 하에서 이중대칭대수 $A$와 $B$는 이중 약한 대칭대수이다.
• 분리 가능한 중심자 $R$를 가진 프로베누스 깊이 두 번째 확장 $M|N$의 경우, 비퇴화된 왼쪽 적분이 존재하면 $A$는 약한 호프 대칭대수로 변환되며, 이는 프로베누스 준동형사상 $E$에 의해 만족된다.
• 비퇴화된 정규화된 왼쪽 적분이 $A$에 존재하면 $A$는 $K$-분리 가능하며, 반대로 $A$가 $K$-분리 가능하면 $M|N$은 분리 가능하다.
• $M|N$의 분리 가능성은 $B$의 $K$-분리 가능성과 동치이며, $B$는 $A$의 이중 약한 호프 대칭대수와 동형이다.
• 이 구조는 사전에 비퇴화된 쌍이 필요로 하지 않으며, 대신 깊이 두 번째 및 프로베누스 조건에서 직접적으로 이중성과 이중대칭대수 구조를 유도한다.