[논문 리뷰] Dualities in one-dimensional quantum lattice models: topological sectors

Laurens Lootens, Clement Delcamp외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 07.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 행렬 곱 연산자(MPOs)를 통해 명시적인 인터티너를 구성함으로써 대칭-틀어진 경계 조건을 가진 이중성 1차원 양자 격자 모델의 스펙트럼을 연결하는 일반적인 프레임워크를 수립한다. 핵심 결과는 기저 분류의 드린펠트 중심의 비자명한 브레디드 자동동치를 통해 이중 모델의 토폴로지 섹터가 매핑된다는 것이다. 이는 스핀-1/2 XXZ 모델과 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$ 대칭을 가진 모델을 포함하는 이중성 클래스에서 명시적으로 입증되었다.

ABSTRACT

It has been a long-standing open problem to construct a general framework for relating the spectra of dual theories to each other. Here, we solve this problem for the case of one-dimensional quantum lattice models with symmetry-twisted boundary conditions. In ref. [PRX Quantum 4, 020357], dualities are defined between (categorically) symmetric models that only differ in a choice of module category. Using matrix product operators, we construct from the data of module functors explicit symmetry operators preserving boundary conditions as well as intertwiners mapping topological sectors of dual models onto one another. We illustrate our construction with a family of examples that are in the duality class of the spin-$\frac{1}{2}$ Heisenberg XXZ model. One model has symmetry operators forming the fusion category $\mathsf{Rep}(\mathcal S_3)$ of representations of the group $\mathcal S_3$. We find that the mapping between its topological sectors and those of the XXZ model is associated with the non-trivial braided auto-equivalence of the Drinfel'd center of $\mathsf{Rep}(\mathcal S_3)$.

연구 동기 및 목표

• 1차원에서 이중성 양자 격자 모델의 스펙트럼을 연결하는 오랜 동안 열려있던 문제를 해결하기 위해.
• 대칭-틀어진 경계 조건을 가진 이중 모델 간의 토폴로지 섹터를 매핑하는 일반적인 프레임워크를 제공하기 위해.
• 이중성이 공통의 입력 융합 분류에 대한 모듈러 범주들의 다른 선택에서 기인한다는 것을 확립하기 위해.
• 톆포로지 섹터 간의 매핑이 분류의 드린펠트 중심의 브레디드 자동동치에 의해 규정된다는 것을 보여주기 위해.
• 이중성 변환이 대칭과 경계 조건을 유지하는 명시적 MPO 구성에 의해 실현된다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 저자들은 1차원 양자 격자 모델에서 경계 조건을 유지하는 대칭 연산자를 구성하기 위해 행렬 곱 연산자(MPOs)를 사용한다.
• 그들은 이중성을 공통의 원형 대칭 분류 위에서 다른 모듈러 범주에서 기인하는 것으로 정의한다. 여기서 입력 분류는 시스템의 분류 대칭이다.
• 토폴로지 섹터 간의 매핑은 모듈러 함자와 MPOs로부터 구성된 인터티너를 통해 실현되며, 대칭 연산에 대해 일관성을 보장한다.
• 이 구성은 Turaev-Viro-Barrett-Westbury TQFT의 고립된 경계 조건과 입력 융합 분류 위의 모듈러 범주 간의 홀로그래픽 대응에 기반한다.
• $\mathcal{Z}(\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3))$의 반반 브레디드 텐서는 클렙슈-고르단 계수와 $\mathcal{S}_3$의 표현 이론을 사용해 명시적으로 계산되었으며, 비자명한 브레디드 자동동치를 확인한다.
• 이 프레임워크는 XXZ 모델과 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$ 대칭 모델을 포함하는 이중성 클래스에 적용되었으며, 명시적인 섹터 매핑이 유도되었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭-틀어진 경계 조건을 가진 1차원 양자 격자 모델의 이중성 스펙트럼을 체계적으로 상호 연결할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 분류 대칭이 존재하는 상황에서 이중 모델의 토폴로지 섹터 간 매핑의 수학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 모듈러 함자와 MPOs의 자료로부터 토폴로지 섹터 간의 인터티너는 어떻게 구성되는가?
• RQ4 드린펠트 중심과 그의 브레디드 자동동치는 서로 다른 대칭 구조를 가진 모델 간의 이중성을 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 XXZ 모델과 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$ 대칭 모델 간의 이중성은 MPO 기반 인터티너와 섹터 매핑을 통해 명시적으로 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 이중 모델의 토폴로지 섹터 간의 매핑은 $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$의 드린펠트 중심의 비자명한 브레디드 자동동치를 통해 실현되며, 이는 논문에서 명시적으로 계산되었다.
• $\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3)$ 대칭 모델에서 $|1\rangle_{\underline{0}}$ 및 $|1\rangle_{\underline{1}}$로 표기된 토폴로지 섹터는 반반 브레디드 작용 하에서 $\omega$ 및 $\bar{\omega}$ 위상을 포함하는 초위상으로 매핑된다.
• 토폴로지 섹터 간의 인터티너는 군 표현의 트레이스와 크로네커 델타를 포함하는 계수를 가진 MPO의 선형 조합으로 구성되며, 융합 규칙과의 일관성을 보장한다.
• $\mathcal{Z}(\mathsf{Rep}(\mathcal{S}_3))$의 반반 브레디드 텐서는 명시적으로 계산되었으며, $R_{\underline{2},\mathcal{V}}(|1\rangle_{\underline{2}}\otimes|1\rangle_{\underline{1}})$가 $|2\rangle_{\underline{2}}\otimes|2\rangle_{\underline{2}}$를 포함하는 비자명한 변환을 유도한다는 것을 보여준다.
• $\mathrm{Ind}^{\mathcal{S}_3}_{\mathbb{Z}_2}(\underline{1}_{\mathbb{Z}_2}) \simeq \underline{1} \oplus \underline{2}$와 같은 유도 표현의 분해가 확인되었으며, 기저 벡터는 불변 표현에 대한 군 작용으로부터 명시적으로 유도되었다.
• 이 프레임워크는 한 모델의 비대칭 국소 연산자를 이중 모델의 비국소 비대칭 연산자로 성공적으로 매핑하였으며, 분류 대칭 게이지화를 통한 일반화된 이중성과 일관된다.