[論文レビュー] Duality and equivalence of module categories in noncommutative geometry I

Jonathan Block|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 66

ひとこと要約

この論文は、非可換幾何学、代数幾何学、および数理物理学における双対性を統一するための微分的高次カテゴリーフレームワークを導入する。ドルベオーのデータから曲がった微分的高次代数を構成することで、複素多様体上の連接層の導来カテゴリを実現し、非可換複素トーラスにおけるセルレ双対性を確立する。これにより、バウム＝コンヌー予想が導来同値性と結びつけられる。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers that deals with duality statements such as Mukai-duality (T-duality, from algebraic geometry) and the Baum-Connes conjecture (from operator $K$-theory). These dualities are expressed in terms of categories of modules. In this paper, we develop a general framework needed to describe these dualities. In various geometric contexts, e.g. complex geometry, generalized complex geometry, and noncommutative geometry, the geometric structure is encoded in a certain differential graded algebra. We develop the module theory of such differential graded algebras in such a way that we can recover the derived category of coherent sheaves on a complex manifold. In this paper and ones to follow we apply this to stating and proving the duality statements mentioned above. After developing the general framework, we look at a (complex) Lie algebroid $\A o T_\cx X$. One can then consider our analogue of the derived category of coherent sheaves, integrable with respect to the Lie algebroid. We then establish a (Serre) duality theorem for "elliptic" Lie algebroids and for noncommutative tori.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学、代数幾何学、および数理物理学における双対性に関する一般的枠組みを構築すること。
• 作用素K理論におけるバウム＝コンヌー予想を、代数幾何学および物理学における導来同値性と結びつけること。
• グローバルな微分幾何的データを用いて、複素多様体上の連接層の導来カテゴリを捉える微分的高次カテゴリを構築すること。
• 標準的なdgモジュールの範囲を越えて、曲がったdgaの構成を用いてねじれた複体を含む、より洗練された準同型の概念を拡張すること。
• 双対化モジュールとトレース汎関数を用いて、非可換複素トーラスにおけるセルレ双対性を確立すること。

提案手法

• コンパクトな複素多様体のドルベオー複体を用いて、群の2次コホホロジーσを組み込んだ曲がった微分的高次代数（dga）を定義する。
• dga A から得られる微分的高次カテゴリ P_A を構築し、グローバルな微分幾何的構造を通じて連接層を捉える。
• 複素ベクトル空間 V の (1,0) 成分を用いて、A = A^{0,•}(Λ;σ) 上にねじれた微分 ∂̄ を導入し、双対性と整合性を持つようにする。
• dga にトレース τ を導入し、双対化モジュール (D, D̄, *, ∫) を定義することで、セルレ双対性を実現する。
• 最高次形式への ∫ 汎関数を用いて非退化な双対性ペアリングを定義し、双対性公理を検証する。
• カテゴリ P_A におけるセルレファンクターが、E ↦ E ⊗ D および誘導された微分 D̄ で与えられることを示し、古典的セルレ双対性を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換幾何学における双対性、例えばT双対性やミラー対称性は、どのように一様なカテゴリカル枠組みに統合できるか？
• RQ2 複素多様体上の連接層の導来カテゴリは、局所的な正則的データではなく、グローバルな微分幾何的構造から再構成可能か？
• RQ3 ドルベオーdga上のdgモジュールにおける、正しい準同型の概念は何か？ そして、標準的なものとはどのように異なるか？
• RQ4 バウム＝コンヌー予想は、代数幾何学および物理学における導来同値性とどのように関係するか？
• RQ5 セルレ双対性は非可換複素トーラスへ拡張可能か？ その背後にある構造は何か？

主な発見

• 微分的高次カテゴリ P_A のホモトピー圏は、コンパクトな複素多様体 X 上の連接層の導来カテゴリと同値である。
• σ が自明な dga A = A^{0,•}(Λ;σ) は、双対複素トーラス X^∨ のドルベオー代数と同型であり、古典的幾何学と整合することを確認する。
• dga A は楕円的であり、トレース τ と最高次形式の積分を用いて双対化モジュール (D, D̄, *, ∫) が定義される。
• P_A 上のセルレファンクターは、E ↦ E ⊗ D および誘導された微分 D̄ で与えられ、σ = 1 のとき古典的セルレファンクターを回復する。
• 標準的なdgモジュールのホモロジー的欠陥を避けるために、曲がったdgaと洗練されたカテゴリ P_A を用いることで、構成が実現される。
• このフレームワークは、バーグマンが用いたように、ストリング理論におけるBブレーンを連接層のモデルとして実現する。