[论文解读] A Riemann--Hilbert correspondence for infinity local systems

Jonathan Block, Aaron Smith|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文在紧致流形 $M$ 上的 $\bbZ$-分次 $A^0$-模的微分graded范畴（dg-category）与 $M$ 上的无穷局部系统（infinity-local systems）之间建立了 $A_\infty$-拟等价关系，推广了经典 Riemann–Hilbert 对应关系至更高同伦型，通过高阶全息传输（higher holonomy transport）实现。关键结果是利用迭代积分与 Dold–Kan 对应关系，构造出一个全忠实且拟本质满射的对应关系。

ABSTRACT

We describe an $A_\infty$-quasi-equivalence of dg-categories between the first authors' $\mathcal{P}_{\mathcal{A}}$ ---the category of category of prefect $A^0$-modules with flat $\Z$-connection, corresponding to the de Rham dga $\mathcal{A}$ of a compact manifold $M$--- and the dg-category of \emph{infinity-local systems} on $M$ ---homotopy coherent representations of the smooth singular simplicial set of $M$, $\Pinf$. We understand this as a generalization of the Riemann--Hilbert correspondence to $\Z$-connections ($\Z$-graded superconnections in some circles). In one formulation an infinity-local system is simplicial map between the simplicial sets $π_{\infty}M$ and a repackaging of the dg-category of cochain complexes by virtue of the simplicial nerve and Dold-Kan. This theory makes crucial use of Igusa's notion of higher holonomy transport for $\Z$-connections which is a derivative of Chen's main idea of generalized holonomy.

研究动机与目标

• 将经典 Riemann–Hilbert 对应关系从 $\pi_1(M)$ 推广至完整的同伦型 $\pi_\infty M$，借助高阶结构。
• 定义并形式化无穷局部系统作为 $\pi_\infty M$ 在共链复形 dg-范畴中的同伦相干表示。
• 通过高阶全息传输，从平坦 $\bbZ$-分次联络构造 Riemann–Hilbert 赋值函子 $\rho\rho$。
• 证明该函子为 $A_\infty$-拟等价，从而在两个 dg-范畴之间建立导出等价关系。
• 展示该函子的逆可通过层论方法与 Illusie 关于拟相干解析分解的定理构造。

提出的方法

• 将无穷局部系统定义为从光滑奇异单纯集 $\pi_\infty M$ 到共链复形 dg-范畴的单纯集的单纯神经（simplicial nerve）的单纯映射，以编码同伦相干表示。
• 利用 Igusa 的高阶全息传输（源自 Chen 的迭代积分）来定义 Riemann–Hilbert 函子 $\rho\rho$，从平坦 $\bbZ$-分次联络映射到无穷局部系统。
• 通过为每个平坦 $\bbZ$-联络分配路径空间上的微分形式族，并对闭链积分，构造函子 $\rho\rho$，从而得到链映射。
• 通过构造一个层复形 $\sigma\rho^{\bbZ}(\pi_\infty U)(\bbR, F)$（对应于一个无穷局部系统 $(F,f)$），证明拟本质满射性，该复形与 $C^\infty$-函数张量的 de Rham 复形拟同构。
• 应用 Illusie 定理，构造一个与 $\rho\rho(F)$ 中联络零分量同构的 $\rho_{\bbZ}^0$-模的完美复形，随后利用文献 [4] 中的论证，构建 $\rho_{\bbZ}^0$ 中的拟同构对象。
• 利用分解 $d_M = d_{M/B} + \delta_B - \text{涉及 } S \text{ 和 } \Omega \text{ 的项}$，在纤维化（如 Hopf 纤维丛）上建模平坦 $\bbZ$-分次联络为凝聚模（cohesive modules）。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典 Riemann–Hilbert 对应关系能否推广至包含 $\pi_1(M)$ 之外的更高同伦型？
• RQ2 在流形上，何种局部系统概念能完整捕捉其 $\pi_\infty M$ 结构？
• RQ3 如何利用迭代积分与单纯方法，形式化 $\bbZ$-分次联络的高阶全息传输？
• RQ4 是否存在平坦 $\bbZ$-分次联络的 dg-范畴与无穷局部系统的 dg-范畴之间的 $A_\infty$-拟等价关系？
• RQ5 Riemann–Hilbert 函子的逆能否通过层论或解析分解方法构造？

主要发现

• 本文构造了平坦 $\bbZ$-分次 $A^0$-模的 dg-范畴 $\rho_{\bbZ}^0$ 与 $M$ 上无穷局部系统的 dg-范畴 $\rho^{\bbZ}(\pi_\infty M)$ 之间的 $A_\infty$-拟等价关系。
• Riemann–Hilbert 函子 $\rho\rho$ 通过高阶全息传输定义，其表现为路径空间上微分形式链的积分，平坦性保证了同伦相干性。
• 通过证明任意无穷局部系统均可由一个与 $C^\infty$-函数张量的 de Rham 复形拟同构的层复形实现，确立了拟本质满射性。
• 利用 Illusie 定理，构造了一个与 $\rho\rho(F)$ 中联络零分量拟同构的 $\rho_{\bbZ}^0$-模的完美复形，从而可在 $\rho_{\bbZ}^0$ 中构造出拟同构对象。
• Hopf 纤维丛提供了一个具有非平凡高阶联络分量的拟凝聚模的明确例子，且根据文献 [4] 中的定理 3.2.7，真正凝聚模的存在性得以保证。
• 该对应关系可推广至任意 dg-范畴（如复流形 $\Sigma$ 上的凝聚层的导出范畴）的系数，通过映射 $\rho_{\bbZ}^{B\rtimes A(X)} \to \rho^{\bbZ}_{\infty}^B(X)$ 实现。