[論文レビュー] Generalized Kahler geometry

Marco Gualtieri|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 47被引用数 36

ひとこと要約

本稿では、2次元(2,2)超対称性を有するσ模型において、一般化されたケーラー幾何が双ヘルミート幾何と同値であることを確立し、一般化された複素構造および全純ディラック構造を用いて統一的な枠組みを導入する。一般化されたケーラー構造が、それぞれが全純コルヌー代数と横断的ディラック構造を備える2つの複素構造 $I_+$ および $I_-$ を誘導することを示し、それらの背後にあるリー代数的構造がモルティダ同値性をなすとともに、前量子ゲルベに一般化された全純構造が両複素構造と整合的に与えられることを示す。

ABSTRACT

Generalized Kahler geometry is the natural analogue of Kahler geometry, in the context of generalized complex geometry. Just as we may require a complex structure to be compatible with a Riemannian metric in a way which gives rise to a symplectic form, we may require a generalized complex structure to be compatible with a metric so that it defines a second generalized complex structure. We explore the fundamental aspects of this geometry, including its equivalence with the bi-Hermitian geometry on the target of a 2-dimensional sigma model with (2,2) supersymmetry, as well as the relation to holomorphic Dirac geometry and the resulting derived deformation theory. We also explore the analogy between pre-quantum line bundles and gerbes in the context of generalized Kahler geometry.

研究の動機と目的

• 2次元(2,2)σ模型に現れる一般化されたケーラー幾何と双ヘリミート幾何の同値性を確立すること。
• 一般化されたケーラー対 $(I_+, I_-)$ が複素多様体に誘導する幾何的構造を、特に $B\partial\bar{\partial}$-補題が成り立たない場合に明確化すること。
• 各複素構造上で全純ディラック幾何の枠組みを構築し、一般化されたケーラー構造が横断的全純ディラック構造とリー代数的構造のモルティダ同値性を誘導することを示すこと。
• 前量子ゲルベが一般化されたケーラー幾何において果たす役割を解釈し、両複素構造と整合する一般化された全純構造を備えたゲルベが誘導されることを示すこと。
• ゲルベに平坦接続を備えたホロモルフィックディラック構造が、シンプレクティック幾学における前量子ラインバンドルを一般化することを示し、幾何的量子化の類似性を拡張すること。

提案手法

• 閉3形式による歪みを伴うコルヌー代数的構造を用いて一般化幾何をモデル化し、歪み類が $H^3(M, \mathbb{R})$ に属することを仮定する。
• リーマン計量と整合する一般化された複素構造 $\mathbb{J}_\pm$ をコルヌー代数的構造 $E$ 上に構成し、一般化されたケーラー構造を導く。
• 一般化された複素構造を用いてコルヌー代数的構造を横断的全純ディラック部分束 $L_\pm = \ker(\mathbb{J}_\pm \mp i)$ に分解し、それによって基礎となる複素多様体に全純構造を誘導する。
• ディラック構造の全純還元手続きを用いて、複素多様体 $X_\pm$ 上の全純コルヌー代数的構造 $\mathcal{E}_\pm$ を構成し、それぞれが横断的全純ディラック構造 $\mathcal{A}_\pm, \mathcal{B}_\pm$ を備える。
• 定理1.15を用いて、リー代数的構造 $\mathcal{A}_\pm$ および $\mathcal{B}_\pm$ 上にユニタリ接続を備えたヘルミートゲルベ $G$ に平坦接続を定義し、$G$ に一般化された全純構造を誘導する。
• ディラック構造のバール和 $\mathcal{A}_\pm^\top \boxtimes \mathcal{B}_\pm$ が、ホロモルフィックポisson構造 $\sigma_\pm$ のリー代数的構造を生成し、ゲルベに平坦ポアソン接続を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたケーラー幾何は、2次元(2,2)σ模型における双ヘルミート幾何とどのように関係するか？
• RQ2 一般化されたケーラー構造に付随する複素多様体 $X_\pm$ にどのような幾何的構造が生じるか？
• RQ3 全純ディラック構造およびその還元は、一般化されたケーラー条件とどのように関係するか？
• RQ4 前量子ゲルベは一般化されたケーラー幾何において果たす役割は何か？ また、それらは前量子ラインバンドルをどのように一般化するか？
• RQ5 複素構造 $I_+$ および $I_-$ に付随する全純リー代数的構造の間で、モルティダ同値性はどのように実現されるか？

主な発見

• 一般化されたケーラー幾何は、2次元(2,2)σ模型の終域において双ヘルミート幾何と同値であり、長年の予想が裏付けられた。
• 一般化されたケーラー構造は、基礎多様体上に2つの複素構造 $I_+$ および $I_-$ を誘導するが、これらは同型である必要はなく、$\partial\bar{\partial}$-補題を満たさない可能性がある。
• 各複素構造 $I_\pm$ は、全純コルヌー代数的構造 $\mathcal{E}_\pm$ を持ち、それらは横断的全純ディラック構造 $\mathcal{A}_\pm$ および $\mathcal{B}_\pm$ に分解され、ホロモルフィックポアソン構造 $\sigma_\pm$ を誘導する。
• ユニタリ接続を備えた前量子ゲルベ $G$ は、$\mathbb{J}_+$ および $\mathbb{J}_-$ に対して一般化された全純構造を備え、全純リー代数的構造 $\mathcal{A}_\pm$ および $\mathcal{B}_\pm$ 上に平坦接続を持つ。
• 複素多様体 $X_\pm$ 上の全純ゲルベ $\mathcal{G}_\pm$ は、ホロモルフィックポアソン構造 $\sigma_\pm$ に関して平坦ポアソン接続を持つことが保証され、これはディラック構造のバール和から生じる。
• 一般化されたケーラー条件は、リー代数的構造 $\mathcal{A}_+$ と $\mathcal{B}_-$ の間、および $\mathcal{A}_-$ と $\mathcal{B}_+$ の間でモルティダ同値性を誘導し、2つの複素構造を導来同値性によって結びつける。