[논문 리뷰] Surface operators in four-dimensional topological gauge theory and Langlands duality

Anton Kapustin, Kevin Setter외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 02.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 GL-twist된 N=4 초대칭 Yang-Mills 이론을 통해 4차원 위상적 게이지 이론에서 표면 연산자를 분류하며, 그들의 경계 조건에 해당하는 2-category가 Montonen-Olive dualit에 의해 동치임을 보여주고, 기하학적 Langlands duality의 2-category적 해석을 제공한다. t=i일 때, 2-category는 게이지화된 Rozansky-Witten 모델을 통해 완전히 기술되며, t=0과 t=1일 때 아벨 경우는 전기-자기 dualit에 의해 풍부한 구조를 보이며, 윌슨-'t Hooft 선이 존재하지 않음에도 불구하고 양자 기하학적 Langlands duality의 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We study surface and line operators in the GL-twisted N=4 gauge theory in four dimensions. Their properties depend on the parameter t which determines the BRST operator of theory. For t=i we propose a complete description of the 2-category of surface operators in terms of module categories. We also determine the monoidal category of line operators which includes Wilson lines as special objects. For t=1 and t=0 we only discuss surface and line operators in the abelian case. Applications to the categorification of the local geometric Langlands duality and its quantum version are briefly described. In the appendices we discuss several 3d and 2d topological field theories with gauge fields. In particular, we explain a relationship between the category of branes in the gauged B-model and the equivariant derived category of coherent sheaves.

연구 동기 및 목표

• GL-twist된 4차원 N=4 초대칭 양-밀스 이론에서 비국소 관측량으로서 표면 연산자를 분류하고 연구하는 것.
• Montonen-Olive dualit가 표면 연산자와 그에 관련된 선 연산자에 어떻게 작용하는지 이해하는 것.
• 원환면 위의 콪팩티피케이션을 통해 유도된 3차원 경계 조건을 통해 기하학적 및 양자 기하학적 Langlands duality의 2-category적 공식화를 제공하는 것.
• 특히 t=0, i, 1에서 이론이 새로운 또는 잘 알려진 위상적 특성을 보이는 3차원 TFT의 구조를 분석하는 것.
• 특히 아벨 U(1) 경우에서 이중 게이지 군 G와 L G에 대한 표면 연산자에 해당하는 2-category 간의 동치 관계를 확립하는 것.

제안 방법

• 복소수 매개변수 t를 가진 GL-twist를 사용하여 N=4 SYM에서 4차원 위상적 장 이론(TFT)을 구성하는 것.
• 4차원 TFT를 원형으로 콱팩티피케이션하여 3차원 TFT를 도출하며, 이 3차원 TFT의 경계 조건 2-category는 4차원에서의 표면 연산자 2-category에 대응한다.
• t=i에서 3차원 TFT가 게이지화된 Rozansky-Witten 모델임을 분석하여 표면 연산자의 완전한 분류를 가능하게 하는 것.
• t=0과 t=1에서 아벨 표면 연산자를 연구하며, 3차원 이론은 덜 알려져 있지만 비자명한 dualit 작용을 허용함을 보이는 것.
• 구간으로 추가로 콱팩티피케이션하여 유도된 2차원 TFT를 사용해 브레인 카테고리와 결함 선의 역행성( invertibility)을 분석하는 것.
• 게이지화된 B-모델에서의 브레인 카테고리를 동치 기반의 코herent sheaf의 유도 카테고리와 동일시하며, 특수한 경우에서는 D^b(Coh(C[2]))와 일치함을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL-twist된 4차원 N=4 초대칭 양-밀스 이론에서 표면 연산자는 어떻게 2-category로 구성되며, 이 구조는 Langlands dualit와 어떤 관련이 있는가?
• RQ2 GL-twist 매개변수 t=i일 때 표면 연산자의 2-category는 어떤 구조를 가지며, 이는 Rozansky-Witten 모델과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 t=0과 t=1에서 아벨 경우에서 전기-자기 dualit가 표면 연산자와 그 내부의 선 연산자에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 t=0에서 윌슨 선과 't Hooft 선이 존재하지 않음에도 불구하고, 표면 연산자를 통해 양자 기하학적 Langlands duality와의 일관성을 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ5 2차원 게이지화된 위상적 시그마 모델에서의 브레인 카테고리와 동치 기반 유도 카테고리 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• t=i일 때, 4차원 GL-twist 이론에서의 표면 연산자 2-category는 게이지화된 Rozansky-Witten 모델의 경계 조건 2-category로 완전히 기술된다.
• t=0일 때는 부피 내 선 연산자가 자명하지만, 아벨 표면 연산자는 전기-자기 dualit에 의해 비자명하게 작용하는 풍부한 선 연산자 카테고리를 지닌다.
• U(1) 게이지 이론에서 t=i와 t=1일 때 표면 연산자의 2-category는 전기-자기 dualit에 의해 동치이며, 이는 [15]에서의 결과에 대한 2-category적 해석을 제공한다.
• 대상이 한 점인 2차원 게이지화된 B-모델에서의 브레인 카테고리는 코herent sheaf의 유도 카테고리와 동치이며, 이는 알려진 2차원 TFT의 구조와 일致함을 확인한다.
• U(1) 게이지 군을 가진 2차원 A형 게이지 이론은 C[2]를 대상으로 하는 B-모델과 동형이며, 그 브레인 카테고리는 D^b(Coh(C[2]))와 동치이다.
• t=0에서 4차원 이론을 원형으로 콱팩티피케이션하여 얻어진 3차원 TFT는 N=8 3차원 초대칭 Yang-Mills 이론의 풀이 아니며, 주기적 스칼라 및 질서가 없는 연산자들이 존재하여 R-값 스칼라 경우와 구별된다.