[논문 리뷰] Duals and adjoints in higher Morita categories

Owen Gwilliam, Claudia Scheimbauer|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 $(\infty,N)$-범주 $\mathcal{S}$ 속의 $E_n$-대수 대상의 고차 모티카 범주 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 가 완전히 $n$-대칭화 가능하다는 것을 증명하며, 루리에의 추측을 확인한다. 요소 분해 대상들을 기하적 프레임워크로 사용하여, 모든 대상이 역대수 구조를 통해 이중을 가지며, 유한성과 프로젝티브 조건 하에서 $k$-사상이 수반을 가짐을 증명한다. 이는 완전히 확장된 위상적 양자장 이론에 응용된다.

ABSTRACT

We study duals for objects and adjoints for $k$-morphisms in $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$, an $(\infty,n+N)$-category that models a higher Morita category for $E_n$ algebra objects in a symmetric monoidal $(\infty,N)$-category $\mathcal{S}$. Our model of $\operatorname{Alg}(\mathcal{S})$ uses the geometrically convenient framework of factorization algebras. The main result is that $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ is fully $n$-dualizable, verifying a conjecture of Lurie. Moreover, we unpack the consequences for a natural class of fully extended topological field theories and explore $(n+1)$-dualizability.

연구 동기 및 목표

• 대칭 모나드 $(\infty,N)$-범주 $\mathcal{S}$ 속의 $E_n$-대수에 대해 고차 모티카 범주 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 의 완전한 $n$-대칭화 가능성을 확립하고, 루리에의 추측을 검증한다.
• 고차 범주로 일반화된 고전적 모티카 대칭화를 위해 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 내의 $k$-사상이 좌우 수반을 가지는 조건을 규명한다.
• 완전히 확장된 위상적 양자장 이론에 대한 $n$-대칭화 가능성의 함의를 탐색한다.
• 특히, $n$-범주의 구조 속에서의 포인팅이 $(n+1)$-대칭화 가능성을 방해하는 이유와 그 미묘한 점을 명확히 한다.

제안 방법

• 저자들은 고차 모티카 범주를 위한 기하적이고 계산 가능성이 높은 프레임워크를 제공하기 위해 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 를 요소 분해 대상으로 모델링한다.
• 모든 $E_n$-대수 $A$ 가 그 역대수 $A^{\mathrm{op}}$ 를 통해 이중을 가지며, 이중의 평가 및 공평가 지도는 이중 모듈러스를 통해 구성됨을 증명한다.
• $k$-사상의 경우, 수반의 존재는 소스 및 타겟 대수에 대한 유한 생성성과 프로젝티브 조건에 따라 달라지며, 이는 고전적 모티카 이론을 일반화한다.
• $n$-대칭화 가능성을 증명하기 위해, 모든 (공)평가 지도와 그 수반의 존재를 검증하며, 등가성에 대해 2개 중 3개 성질과 등가성을 탐지하는 잊혀진 함자들을 사용한다.
• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 의 대칭 모나드 구조는 $\otimes$-분할 완비성과 $n+N$-중단 단순공간에 대한 세갈 조건을 통해 구성된다.
• $(n+1)$-대칭화 가능성을 방해하는 장애는 $n$-범주의 포인팅의 역할을 분석함으로써 밝혀지며, 이는 $n$ 이상의 수반 존재를 방해함으로써 전체적인 대칭화 가능성을 저해한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 는 루리에의 추측에 따라 완전히 $n$-대칭화 가능할까?
• RQ2 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 내의 $k$-사상 중에서 좌우 수반이 존재하는 것은 무엇이며, 이에 대응하는 이중 모듈러스에 대한 대수적 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 에서 $(n+1)$-대칭화 가능성을 방해하는 포인팅의 역할은 무엇인가?
• RQ4 요소 분해 대상 모델은 고차 범주에서 이중과 수반을 어떻게 구성하는 데 기여하는가?
• RQ5 $n$-대칭화 가능성은 완전히 확장된 위상적 양자장 이론에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 는 완전히 $n$-대칭화 가능하며, 루리에의 추측에 따라 모든 $E_n$-대수가 그 역대수를 통해 이중을 가짐을 확인한다.
• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 내의 임의의 $k$-사상 $M$ 에 대해, $M$ 이 소스 대수에 대해 유한 생성되고 프로젝티브일 때에만 오른쪽 수반이 존재한다.
• 쌍대 쌍 $(A, A^{\mathrm{op}})$ 의 평가 및 공평가 지도는 2개 중 3개 성질과 등가성을 탐지하는 잊혀진 함자들을 사용하여 역행 가능하다는 것이 입증된다.
• 수반의 단위 및 쌍대 단위 지도는 기저 범주에서의 등가성으로 환원하고, 포인팅된 구조를 사용하여 등가성임을 증명한다.
• $\operatorname{Alg}_n(\mathcal{S})$ 의 대칭 모나드 구조는 $n+N$-중단 세갈 공간과 피보트 곱의 보존을 통해 구성되며, 고차 범주적 프레임워크와의 호환성을 보장한다.
• 포인팅은 $(n+1)$-대칭화 가능성을 방해하며, 이는 $n$ 이상의 수반 존재를 방해함으로써 $n$-범주 내에서 근본적인 장애를 드러낸다.