[논문 리뷰] Dynamics in chemotaxis models of parabolic-elliptic type on bounded domain with time and space dependent logistic sources

Tahir Bachar Issa, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 03.

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한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인에서 시간 및 공간에 의존하는 로지스틱 항을 갖는 포물선-타원형 화학유인 시스템에 대해 고전적 해의 전역 존재성, 유계성 및 유일성을 확립한다. $\chi$, 로지스틱 항 $a_1, a_2$, 그리고 공간 차원 $n$ 에 대한 조건 하에, 계수로부터 주기성 또는 거의 주기성을 유도하는 전역적으로 안정된 전체 양의 해가 존재함을 증명한다. 이 결과들은 이질적 환경에서 장기적 역학에 대한 이해를 확장한다.

ABSTRACT

This paper considers the dynamics of the following chemotaxis system $$ \begin{cases} u_t=Δu-χ abla (u\cdot abla v)+u\left(a_0(t,x)-a_1(t,x)u-a_2(t,x)\int_Ωu ight),\quad x\in Ω\cr 0=Δv+ u-v,\quad x\in Ω\quad \cr \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0,\quad x\in\partialΩ, \end{cases} $$ where $Ω\subset \mathbb{R}^n(n\geq 1)$ is a bounded domain with smooth boundary $\partialΩ$ and $a_i(t,x)$ ($i=0,1,2$) are locally Hölder continuous in $t\in\mathbb{R}$ uniformly with respect to $x\in\barΩ$ and continuous in $x\in\barΩ$. We first prove the local existence and uniqueness of classical solutions $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ with $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$ for various initial functions $u_0(x)$. Next, under some conditions on the coefficients $a_1(t,x)$, $a_2(t,x)$, $χ$ and $n$, we prove the global existence and boundedness of classical solutions $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ with given nonnegative initial function $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$. Then, under the same conditions for the global existence, we show that the system has an entire positive classical solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$. Moreover, if $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are periodic in $t$ with period $T$ or are independent of $t$, then the system has a time periodic positive solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ with periodic $T$ or a steady state positive solution $(u^*(x),v^*(x))$. If $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are independent of $x$ , then the system has a spatially homogeneous entire positive solution $(u^*(t),v^*(t))$. Finally, under some further assumptions, we prove that the system has a unique entire positive solution $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ which is globally stable . Moreover, if $a_i(t,x)$ $(i=0,1,2)$ are periodic or almost periodic in $t$, then $(u^*(x,t),v^*(x,t))$ is also periodic or almost periodic in $t$.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인에서 시간 및 공간에 의존하는 로지스틱 항을 갖는 포물선-타원형 화학유인 시스템의 장기적 역학을 조사한다.
• 계수 및 화학유인 감도 $\chi$ 에 대한 일반적인 조건 하에 고전적 해의 존재성과 유계성을 확립한다.
• 시간에 의존하는 계수로부터 주기성 또는 거의 주기성을 유도하는 유일한 전체 양의 해가 존재함을 증명한다. 이 해는 전역적으로 안정적이다.
• 로지스틱 항의 다양한 구조적 가정과 도메인 기하학에 따라 해의 점근적 행동을 분석한다.

제안 방법

• 초기 데이터가 $C^0(\bar{\Omega})$ 에 속할 경우 고정점 원리와 샤펜 스토르의 추정을 통해 국소적 존재성과 유일성을 확립한다.
• 에너지 추정과 최대원리 기법을 사용하여 $\chi$, $a_1(t,x)$, $a_2(t,x)$, $n$ 에 대한 조건 하에 해의 전역 존재성과 유계성을 증명한다.
• 초기 데이터가 시간 $t_0$ 에서 시작되는 해들의 극한 과정을 통해 전체 양의 해를 구성한다. 이때 $t_0 \to -\infty$ 로 간다.
• 다른 초기 데이터에서 시작하는 해들이 $C^0(\bar{\Omega})$ 에서 동일한 극한으로 수렴함을 보여 유일한 전체 양의 해를 증명한다.
• 거의 주기성 이론을 적용하여, 유일한 전체 양의 해가 계수 $a_i(t,x)$ 로부터 거의 주기성을 상속함을 보인다.
• 비교 원리와 수렴 추론을 사용하여 전체 양의 해의 전역 점근적 안정성을 $C^0(\bar{\Omega})$ 노름에서 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 및 공간에 의존하는 로지스틱 항을 갖는 포물선-타원형 화학유인 시스템이 어떤 조건에서 전역 고전적 해를 갖는가?
• RQ2 적절한 계수 및 $\chi$ 에 대한 가정 하에 시스템이 전역적으로 안정된 유일한 전체 양의 해를 갖는가?
• RQ3 전체 양의 해가 시간에 의존하는 로지스틱 항 $a_i(t,x)$ 로부터 주기성 또는 거의 주기성을 유도할 수 있는가?
• RQ4 화학유인 감도 $\chi$ 와 로지스틱 감쇠 항 $a_1(t,x)$, $a_2(t,x)$ 간의 상호작용이 해의 유계성과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 비음성이고 비자명한 초기 데이터를 갖는 해의 점근적 행동은 $t \to \infty$ 일 때 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 비음성이고 비자명한 초기 데이터에 대해, 유일한 전체 양의 고전적 해 $(u^*(x,t), v^*(x,t))$ 가 존재하며, 이는 $C^0(\bar{\Omega})$ 노름에서 전역적으로 안정적이다.
• 계수 $a_i(t,x)$ 가 주기적일 경우 주기 $T$ 를 갖는다. 이때 유일한 전체 양의 해도 동일한 주기 $T$ 를 갖는다.
• 계수 $a_i(t,x)$ 가 $x$ 에 대해 독립일 경우, 유일한 전체 양의 해는 공간적으로 균일하다. 즉, $u^*(x,t) = u^*(t)$, $v^*(x,t) = v^*(t)$ 이다.
• 계수 $a_i(t,x)$ 가 $t$ 에 대해 거의 주기적일 경우, 유일한 전체 양의 해 역시 $t$ 에 대해 거의 주기적이다.
• 해가 전체 양의 해로 수렴하는 것은 공간적으로 균일하며, $\lim_{t \to \infty} \left( \|u(\cdot,t;t_0,u_0) - u^*(\cdot,t)\|_{C^0(\bar{\Omega})} + \|v(\cdot,t;t_0,u_0) - v^*(\cdot,t)\|_{C^0(\bar{\Omega})} \right) = 0$ 이다.
• 유일성의 증명은 $t_0 \to -\infty$ 일 때 다른 초기 데이터에서 시작하는 해들이 동일한 극한으로 수렴함을 보여, 해 흐름의 연속성과 유계성에 기반한다.