[논문 리뷰] Dynamics of regular birational maps in P^k

Tien‐Cuong Dinh, Nessim Sibony|ArXiv.org|2004. 06. 18.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간 ℙ^k 상의 정규 유리형 사상에 대해 녹색 1-형식의 존재성과 극단성( extremality )을 증명한다. 이는 dd^c-해결 기법을 통해 (p,p)-형식의 녹색 1-형식을 구성함으로써 이루어지며, 이러한 1-형식이 극단적이며 그 외적곱이 혼합성을 갖는 f-invariant 측도를 유도함을 증명한다. 이는 다항형 자명사상의 결과를 더 넓은 유형의 유리형 사상, 특히 정규 다항형 자명사상의 소규모 변형을 포함하는 클래스로 일반화한다.

ABSTRACT

We develop the study of some spaces of currents of bidegree (p,p). As an application we construct the equilibrium measure for a large class of birational maps of P^k as intersection of Green currents. We show that these currents are extremal and that the corresponding measure is mixing.

연구 동기 및 목표

• 정규 다항형 자명사상 외의 더 넓은 클래스의 유리형 사상에 대해 평형 측도 이론을 확장한다.
• 의심점 집합이 있는 정규 유리형 사상에 대해 (p,p)-형식 녹색 1-형식을 정의하고 연구한다.
• 이러한 1-형식의 극단성과 관련된 평형 측도의 혼합성 특성을 증명한다.
• 의심점 집합에서 기인하는 특이성을 갖는 1-형식을 다룰 수 있도록 dd^c-해결 방법을 일반화한다.
• 정규 다항형 자명사상의 소규모 변형이 여전히 정규 유리형 사상의 클래스에 속함을 보인다.

제안 방법

• 의심점이 있는 사상에서의 1-형식의 역상 정의 및 분석을 위해 dd^c-해결 기법을 사용한다.
• 의심점 집합 근처에서 성장 조건이 통제되는 (p,p)-형식의 양의 닫힌 1-형식 공간 PC_p(V)를 도입한다.
• 시험 형식의 재귀적 분해를 적용하여 반복된 역상의 성장 양상을 통제하고 수렴성을 확립한다.
• 정규화된 반복된 역상 d^{-np}f^{n*}(T)의 약한 수렴성을 U^+_∞ 내에서 T^p_+로 증명한다.
• 코homological 추론과 DSH 1-형식의 정규화를 통해 극한 1-형식이 초기 1-형식 T에 의존하지 않음을 보인다.
• f^*와 f_*가 정규화된 의미에서 ⟨f^{n*}(T),Φ⟩ = ⟨T, f_*(Φ)⟩ 공식을 통해 1-형식 상에서 쌍대성 유사 관계를 만족함을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 유리형 사상에 대해 평형 측도가 자명사상이 아닐 때도 녹색 1-형식의 교차로 구성될 수 있는가?
• RQ2 형식 (p,p)의 녹색 1-형식이 극단적인가? 즉, 어떤 양의 닫힌 (p,p)-형식 S가 T^p_+에 의해 지배된다면 반드시 그의 상수배여야 하는가?
• RQ3 이러한 1-형식에서 유도된 평형 측도 μ = T^s_+ ∧ T^{k-s}_- 는 혼합성 행동을 보이는가?
• RQ4 특히 고차원에서의 경우, 의심점 집합을 가진 사상에서 1-형식의 역상이 어떻게 의미 있게 정의될 수 있는가?
• RQ5 정규 다항형 자명사상의 소규모 변형이 정규성 조건과 극단적 녹색 1-형식의 존재성을 유지하는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 모든 T ∈ PC_p(V) 중에서 질량이 1인 경우, 정규화된 역상 d^{-np}f^{n*}(T)는 U^+_∞ 상에서 T^p_+로 약한 수렴성을 가진다.
• 녹색 1-형식 T^p_+는 극단적이다: 만약 S ≤ T^p_+ 이고 S가 양의 닫힌 (p,p)-형식이라면, U^+_∞ 내에서 S = cT^p_+ 를 만족하며, c = ||S|| 이다.
• 평형 측도 μ = T^s_+ ∧ T^{k-s}_- 는 f-불변이며 혼합적이며 U^+ ∩ U^- 에서만 지지된다.
• 역동적 차수는 1 ≤ p ≤ s 에 대해 d_p = d^p 와 1 ≤ q ≤ k−s 에 대해 δ_q = δ^q 를 만족하며, d^s = δ^{k−s} 이다.
• 이 방법은 유리형 비가역 사상과 랜덤 반복에까지 확장 가능하여, 유리형 사상 외적으로도 넓은 적용 가능성을 보인다.
• PC_p(V) 내의 유계 집합에 대해 d^{-np}f^{n*}(T) 의 수렴은 균일하므로, 극한 1-형식의 안정성이 보장된다.