[논문 리뷰] Effects of cross-diffusion on Turing patterns in a reaction-diffusion Schnakenberg model

G. Gambino, Simona Lupo외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 20.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 38인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 선형 상호확산이 두 종 반응-확산 Schnakenberg 모델에서 터닝 패턴 형성에 미치는 영향을 조사한다. 약한 비선형 다중 척도 분석을 사용하여, 상호확산이 초위상 분기—유한 진폭의 안정된 패턴을 유도하는—를 촉진하는 매개변수 영역을 규명한다. 특히 활성화제의 상호확산(d_v)이 증가하거나 억제제의 상호확산(d_u)이 감소할 경우에 특히 그렇다.

ABSTRACT

In this paper the Turing pattern formation mechanism of a two component reaction-diffusion system modeling the Schnakenberg chemical reaction coupled to linear cross-diffusion terms is studied. The linear cross-diffusion terms favors the destabilization of the constant steady state and the mechanism of pattern formation with respect to the standard linear diffusion case, as shown in Madzvamuse et al. (J. Math. Biol. 2014). Since the subcritical Turing bifurcations of reaction-diffusion systems lead to spontaneous onset of robust, finite-amplitude localized patterns, here a detailed investigation of the Turing pattern forming region is performed to show how the diffusion coefficients for both species (the activator and the inhibitor) influence the occurrence of supercritical or subcritical bifurcations. The weakly nonlinear (WNL) multiple scales analysis is employed to derive the equations for the amplitude of the Turing patterns and to distinguish the supercritical and the subcritical pattern region, both in 1D and 2D domains. Numerical simulations are employed to confirm the WNL theoretical predictions through which a classification of the patterns (squares, rhombi, rectangle and hexagons) is obtained. In particular, due to the hysteretic nature of the subcritical bifurcation, we observe the phenomenon of pattern transition from rolls to hexagons, in agreement with the bifurcation diagram.

연구 동기 및 목표

• 반응-확산 시스템에서 균일한 정 steady 상태의 안정성에 선형 상호확산이 미치는 영향을 이해하는 것.
• 상호확산 존재 하에서 초위상과 초위상 분기 중 어느 것이 발생하는지 조건을 규명하는 것.
• 1차원 및 2차원 영역에서 유도된 공간 패턴(예: 롤, 정육각형, 정사각형)을 분류하는 것.
• 상호확산 계수 d_u 및 d_v가 시스템의 유한 진폭 패턴 형성에 대해 안정화 또는 불안정화하는 역할을 하는지 조사하는 것.
• 수치 시뮬레이션을 통해 이론적 예측을 검증하고 롤에서 정육각형으로의 패턴 전이와 같은 전이 현상을 분석하는 것.

제안 방법

• 1차원 및 2차원 영역에서 터링 패턴의 진폭 방정식을 유도하기 위해 약한 비선형(WNL) 다중 척도 분석을 적용하였다.
• 비선형 계수의 부호에 따라 초위상과 초위상 분기를 구분하기 위해 스타트-랜드 유형의 진폭 방정식을 유도하였다.
• 비선형 항의 비주기적 항을 제거하고 유한한 해를 확보하기 위해 프레드홀름의 대안 조건을 사용하였다.
• 시간과 공간에 대한 이중 척도 점근적 전개를 수행하여, 패턴의 진화를 기록하기 위해 느린 시간 척도 T_2와 공간 척도를 도입하였다.
• Schnakenberg 동역학을 사용하여 제어 시스템을 기술: f(u,v) = a - u + u²v, g(u,v) = b - u²v, 양 종에 선형 상호확산 항을 포함하였다.
• 이론적 예측의 정당성을 검증하고 롤에서 정육각형으로의 패턴 전이를 관찰하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 상호확산은 반응-확산 시스템에서 분기 유형(초위상 대 초위상)에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 활성화제에 대한 상호확산 계수 d_v가 초위상 패턴 영역의 크기와 안정성에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 억제제에 대한 상호확산 계수 d_u는 초위상 불안정성의 발생을 어떻게 조절하는가?
• RQ4 2차원 영역에서 상호확산 하에 어떤 종류의 공간 패턴(예: 정육각형, 정사각형, 직사각형)이 나타나는가?
• RQ5 시스템은 어떻게 롤에서 정육각형으로의 패턴 전이를 나타내며, 이러한 전이를 이끄는 요인은 무엇인가?

주요 결과

• 활성화제의 상호확산(d_v)은 초위상 분기 영역을 증가시켜 강건하고 유한 진폭의 패턴을 촉진한다.
• 억제제의 상호확산(d_u)은 초위상 영역의 크기를 감소시켜 이 경로를 통한 패턴 형성이 덜 가능하게 한다.
• 약한 비선형 분석은 다중 척도 전개에서 유도된 스타트-랜드 방정식을 통해 패턴의 진폭과 형태를 성공적으로 예측한다.
• 2차원 영역에서는 롤, 정육각형, 정사각형, 평행사변형, 혼합 모드의 복잡한 패턴이 관찰된다.
• 가장 불안정한 모드가 이重 중복도를 가지며 공진이 발생할 경우, 항상 초위상 분기가 발생하여 히스테리시스 전이가 일어난다.
• 수치 시뮬레이션은 분기 매개변수를 변화시킬 때 롤에서 정육각형으로의 전이가 이론적 예측과 일치함을 확인하였으며, 분기 다이어그램과 일치한다.