[논문 리뷰] Efficient conversion from rotating matrix to rotation axis and angle by extending Rodrigues' formula

Kuo Kan Liang|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 06.

Advanced Measurement and Metrology Techniques인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 로드리그스의 회전 공식에 단순한 확장을 제안하여, 주어진 회전 축과 함께 변환 행렬에서 sinθ를 추출하기 위해 축의 반대칭 행렬과 변환 행렬의 곱의 트레이스를 사용함으로써, 직접적이고 모호하지 않은 방식으로 회전 각도를 계산할 수 있도록 한다. 이 방법은 수동 조작 없이 각도 복원 시 부호의 모호함을 해결하여 3차원 기하 계산의 효율성과 정확성을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

In computational 3D geometric problems involving rotations, it is often that people have to convert back and forth between a rotational matrix and a rotation described by an axis and a corresponding angle. For this purpose, Rodrigues' rotation formula is a very popular expression to use because of its simplicity and efficiency. Nevertheless, while converting a rotation matrix to an axis of rotation and the rotation angle, there exists ambiguity. Further judgement or even manual interference may be necessary in some situations. An extension of the Rodrigues' formula helps to find the sine and cosine values of the rotation angle with respect to a given rotation axis is found and this simple extension may help to accelerate many applications.

연구 동기 및 목표

• 로드리그스 공식을 사용할 때 변환 행렬로부터 회전 각도를 복원하는 데 발생하는 모호함을 해결한다.
• 회전 축이 알려져 있을 때 올바른 회전 각도를 선택하기 위해 수동 또는 히우리스틱적 판단이 필요 없도록 한다.
• 변환 행렬을 축-각도 표현으로 변환하는 데 있어 계산적으로 효율적이고 모호하지 않은 방법을 제공한다.
• 반복적으로 변환 행렬과 축-각도 표현 간에 변환해야 하는 응용 프로그램에서 코드를 단순화하고 명확히 한다.

제안 방법

• 로드리그스 공식을 확장하여, 축 n에서 유도된 반대칭 행렬 N과 변환 행렬 R의 곱의 트레이스를 사용해 sinθ에 대한 표현식을 유도한다.
• 표준 로드리그스 공식을 사용해 Tr(R)로부터 cosθ를 계산하고, 항등식 Tr(NR) = -2sinθ를 활용해 sinθ를 계산한다.
• 두 번째 인수를 갖는 아 tangent 함수(atan2)를 활용하여 sinθ와 cosθ를 동시에 고려해 θ를 유일하게 결정함으로써 부호의 모호함을 해결한다.
• 표준 행렬 연산과 트레이스 계산 이외에 추가적인 계산 부하가 최소화되도록 보장한다.
• 고유값 분석을 통해 축을 식별하고, 주어진 변환 행렬에서 축과 각도를 모두 복원한다.
• 마이크로소프트 수학 소프트웨어인 매트랩(Mathematica)를 사용한 수치 예제를 통해 이 방법의 강건성을 입증하며, -n도 고유벡터일 수 있음에도 불구하고 수동 선택 없이 정확한 각도 복원이 가능함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 회전 축이 알려져 있을 때, 변환 행렬로부터 회전 각도를 복원하는 데 발생하는 부호의 모호함은 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ2 로드리그스 공식의 어떤 확장이 행렬의 트레이스만을 사용하여 직접적이고 모호하지 않은 방식으로 회전 각도를 계산할 수 있게 하는가?
• RQ3 제안된 방법은 축-각도 변환에서 수동 판단이나 복잡한 히우리스틱이 필요한 양을 줄이거나 제거할 수 있는가?
• RQ4 실제 응용에서 제안된 방법의 계산 비용은 기존 방법과 비교하여 어떻게 되는가?
• RQ5 이 확장은 3차원 기하 및 로봇 공학 응용 분야에서 코드의 명확성, 정확성, 성능에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 확장은 Tr(NR) = -2sinθ를 사용하여, 축 n에서 유도된 반대칭 행렬 N과 변환 행렬 R로부터 sinθ를 직접 계산한다.
• Tr(R)로부터 유도된 cosθ와 Tr(NR)로부터 유도된 sinθ를 조합하여 atan2 함수를 활용해 θ를 유일하게 결정함으로써 모호함이 제거된다.
• N과 R은 표준 로드리그스 공식 응용에서 이미 계산되고 있으므로, 이 방법은 최소한의 계산 오버헤드를 요구한다.
• 수치 예제를 통해 주어진 축 n = (1/√2, 1/√2, 0)에 대해 θ = π/6를 정확히 복원함을 확인하였으며, -n도 고유벡터일 수 있음에도 불구하고 수동 선택 없이도 성공적으로 복원된다.
• 이 방법은 사전에 회전 방향을 알 필요 없이도 자동으로 올바른 축-각도 쌍을 선택할 수 있도록 한다.
• 이 방법은 임의의 3차원 변환 행렬에 일반적으로 적용 가능하며, 로봇공학, 컴퓨터 그래픽스, 기하 계산 분야에서 축-각도 변환을 위한 강력하고 효율적인 솔루션을 제공한다.