[논문 리뷰] Eigenvalue bounds for non-self-adjoint Schrödinger operators with the inverse-square potential

Haruya Mizutani|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 06.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$, $n \geq 3$ 에서 비자기적 슈뢰딩거 연산자에 대해 역제곱 포텐셜과 복소수 계수의 외란을 갖는 켈러 유형 고유값 추정을 수립한다. 강력한 특이성의 포텐셜을 갖는 해리틀의 해를 다루는 균일한 소볼레프 부등식을 증명함으로써, 고유값의 스펙트럼 반경을 제어하는 $L^{n/2+\gamma,\infty}$-노름 추정을 도출한다. 이는 이전 결과를 임계 특이성과 유사한 특이성을 갖는 초임계 포텐셜로 확장한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study spectral properties of non-self-adjoint Schrödinger operators $-Δ-\frac{(n-2)^2}{4|x|^{2}}+V$ on $\mathbb{R}^n$ with complex-valued potentials $V\in L^{p,\infty}$, $p>n/2$. We prove Keller type inequalities which measure the radius of a disc containing the discrete spectrum, in terms of the $L^{p,\infty}$ norm of $V$. Similar inequalities also hold if the inverse-square potential is replaced by a large class of subcritical potentials with critical singularities at the origin. The main new ingredient in the proof is the uniform Sobolev inequality of Kenig-Ruiz-Sogge type for Schrödinger operators with strongly singular potentials, which is of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 임계 역제곱 포텐셜 $-\frac{(n-2)^2}{4|x|^2}$ 과 복소수 계수 포텐셜을 갖는 비자기적 슈뢰딩거 연산자에 대해 켈러 유형 고유값 추정을 확장하는 것.
• 포텐셜이 $L^p$ 에 속하지 않고 약한-$L^p$ 공간, 특히 $L^{n/2+\gamma,\infty}$ 에만 속할 경우 이러한 연산자에 대한 스펙트럼 추정이 부족한 문제를 다루는 것.
• 강력한 특이성의 포텐셜을 갖는 슈뢰딩거 연산자의 해리틀에 대해 균일한 소볼레프 부등식을 수립하는 것. 이는 별개의 관심사이다.
• 임계 특이성을 갖는 원점에서의 초임계 포텐셜의 일반화된 클래스로 추정을 확장하는 것. 이는 역제곱의 경우를 초월한다.

제안 방법

• 증명은 비르만-슐라이머 원리를 기반으로 하며, 이는 고유값 추정을 해리틀 $(-\Delta - z)^{-1}$ 를 포함하는 비르만-슐라이머 핵의 추정으로 환원한다.
• 핵심적 혁신은 $z \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ 에 대해 유효한, $(-\Delta - C_{\rm H}|x|^{-2} - z)^{-1}$ 의 켄니그-루이즈-소지 유형 균일 소볼레프 부등식을 유도하는 것이다.
• 메서드는 복소 스케일링과 카르레만 추정을 사용하여, $|z|$ 에 대해 감쇠하는 $L^{p,2} \to L^{p'\!,2}$ 연산자 노름으로 해리틀을 제어한다.
• 약한 르베그 노름 $\|V\|_{L^{n/2+\gamma,\infty}}$ 을 사용하여 $L^{n/2+\gamma}$ 보다 더 특이적인 포텐셜을 다룰 수 있으며, 이는 $p \neq n/2$ 에서 $L^p$ 에 속하지 않는 $|x|^{-2}$ 와 같은 포텐셜에 대한 추정을 가능하게 한다.
• 논증은 가정 1.4를 만족하는 초임계 포텐셜 $V_\delta$ 에 대해 확장되며, 펌터베이티브 추정과 하디 유형 부등식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자기적 슈뢰딩거 연산자에 대해 임계 역제곱 포텐셜과 복소수 계수 포텐셜을 갖는 경우, 켈러 유형 고유값 추정을 $L^{n/2+\gamma,\infty}$ 에서 수립할 수 있는가?
• RQ2 임계 특이성을 갖는 비자기적 경우에서 고유값의 스펙트럼 반경을 제어하는 데 최적의 $L^p$-유형 노름은 무엇인가?
• RQ3 강력한 특이성의 포텐셜을 갖는 슈뢰딩거 연산자에 대해 균일한 소볼레프 부등식을 $C_{\rm H}|x|^{-2}$ 와 같은 포텐셜로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 고유값 추정은 역제곱의 경우를 초월하여 원점에서 임계 특이성을 갖는 초임계 포텐셜의 클래스로 일반화될 수 있는가?
• RQ5 약한 르베그 노름 $L^{p,\infty}$ 이 더 특이적인 포텐셜로 스펙트럼 추정을 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 고유값 $E \in \mathbb{C} \setminus [0,\infty)$ 에 대해 $\gamma > 0$ 과 $n \geq 3$ 에 대해 $|E|^\gamma \leq C_{\gamma,n} \|V\|_{L^{n/2+\gamma,\infty}}^{n/2+\gamma}$ 의 형태를 갖는 켈러 유형 부등식을 증명한다. 이때 $C_{\gamma,n}$ 은 $V$ 와 $E$ 에 독립적이다.
• 포텐셜 $V$ 가 $L^{n/2+\gamma}$ 에 속하지 않더라도 약한-$L^{n/2+\gamma}$ 공간에만 속할 경우에도 이 추정이 성립하며, 이는 $p \neq n/2$ 에서 $L^p$ 에 속하지 않는 $|x|^{-2}$ 와 같은 포텐셜의 다루기에 유리하다.
• 해리틀 $(-\Delta - C_{\rm H}|x|^{-2} - z)^{-1}$ 에 대해 켄니그-루이즈-소지 유형의 균일한 소볼레프 부등식이 수립되며, 연산자 노름 추정은 $2n/(n+2) < p \leq 2(n+1)/(n+1)$ 에 대해 $C_p |z|^{-\frac{n+2}{2} + \frac{n}{p}}$ 의 형태를 갖는다.
• 논증은 가정 1.4를 만족하는 초임계 포텐셜 $V_\delta$ 에 대해 확장되며, $V$ 의 약한-$L^{n/2+\gamma}$ 노름에 대해 동일한 의존성으로 유사한 고유값 추정을 얻는다.
• 임계 경우에 대해, 해리틀 추정은 해 $u = (H_\delta - z)^{-1}f$ 에 대해 $\|r^{-1}u\|_{L^2}^2 \leq C \delta^{-4} \|rf\|_{L^2}^2$ 의 형태를 갖는다. 이는 스펙트럼 추정에 핵심적이다.
• 이전 연구를 향상시켜 더 특이적인 포텐셜을 허용하고, 비자기적 연산자에 대해 임계 역제곱 및 관련 특이성으로의 적용 범위를 확장한다.