[논문 리뷰] Eigenvarieties for non-cuspidal modular forms over certain PEL Shimura varieties

Riccardo Brasca, Giovanni Rosso|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 PEL 유형의 슈미라 다양체 위에서 비-쿠스피달 $p$-진 모듈라 형식에 대해, 쿠스피달성의 정도를 필터링하는 방식으로 고유다양체를 구축함으로써, 뷜츠의 고유다양체 기계를 비-쿠스피달 가족에 적용할 수 있도록 한다. 주요 결과로는, 약간의 조건 하에 어urban의 $GSp_4$ 고유다양체에 대한 성분 차원에 관한 추측을 증명하며, 이는 이전의 쿠스피달 형식에 국한된 연구를 아이젠스타인 급수와 비-일반적인 가족으로 확장한다.

ABSTRACT

Generalising the recent method of Andreatta, Iovita, and Pilloni for cuspidal forms, we construct an eigenvariety for symplectic and unitary groups that parametrises systems of eigenvalues of overconvergent and locally analytic $p$-adic automorphic forms. This is achieved by gluing some intermediates eigenvarieties of a fixed 'degree of cuspidality'. The dimension of these eigenvarieties is explicit and depends on the degree of cuspidality, it is maximal for cuspidal forms and it is $1$ for forms that are 'not cuspidal at all'. Under mild assumption, we are able to prove a conjecture of Urban about the dimension of the irreducible components of Hansen's eigenvariety in the case of the group $\\mathrm{GSp}_4$ over $\\mathbb{Q}$.

연구 동기 및 목표

• PEL 유형의 슈미라 다양체 위에서 비-쿠스피달 $p$-진 모듈라 형식으로의 고유다양체 구축을 쿠스피달 형식을 초월하여 확장한다.
• 비-쿠스피달 형식의 공간이 비-프로젝티브라는 기술적 장애를, 쿠스피달성의 정도에 따라 필터링함으로써 해결한다.
• 각 쿠스피달성 정도에 대해 중간 고유다양체를 구축하고, 이를 연결하여 비-쿠스피달 가족에 대해 일관되고 프로젝티브인 프레임워크를 확보한다.
• 특히 아이젠스타인 급수의 경우에 대해 허먼의 고유다양체의 기약 성분의 차원에 관한 어urban의 추측을 증명한다.
• 히다 유형의 일반적인 가족과 키신–라이 유형의 아이젠스타인 가족을 하나의 일관된 코homological 프레임워크 안에 통합한다.

제안 방법

• 비-쿠스피달 $p$-진 모듈라 형식에 대해 쿠스피달성의 정도를 필터링하여, 약간의 조건 하에 가중치 공간 위에서 프로젝티브가 되는 부분공간으로 분리한다.
• 브라우저의 추상 기계를 사용하여 각 고정된 쿠스피달성 정도에 대해 중간 고유다양체를 구축한다. 이는 형식의 공간이 프로젝티브여야 한다는 조건을 필요로 한다.
• 슈미라 다양체의 강한 해석적 섬유 위에서의 층 $ω_{v,w}^{\dagger\chi_{\mathcal{U}}^{\text{un}}}$을 사용하여, 초수렴성 및 국소 해석적 형식을 가중치 전반에 걸쳐 보간한다.
• 헤케 대수의 작용, 특히 완전 연속적인 $ U_p$-연산자를 적용하여 고유다양체 매개변수 공간 전반에 걸쳐 고유형식을 정의한다.
• 다른 쿠스피달성 정도 간 고유값의 일관성을 이용하여 중간 고유다양체를 연결함으로써, 동차성의 유지가 보장된다.
• 에이히러-시모라 이sov레니즘과 토로이드적 컴actsfication의 경계에서의 스펙트럴 시퀀스를 포함한 코homological 기법을 사용하여 아이젠스타인 급수의 코homology를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준적인 프로젝티브 조건이 실패하는 상황에서, PEL 유형의 슈미라 다양체 위에서 비-쿠스피달 $p$-진 모듈라 형식에 대해 고유다양체를 구축할 수 있는가?
• RQ2 특히 아이젠스타인 급수의 경우에 대해, 비-쿠스피달 형식을 매개변수화하는 고유다양체 성분의 차원은 무엇이며, 이는 가중치 공간과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 비-일반적이고 비-쿠스피달인 가족에 대해, 어urban의 $ GSp_4$ 고유다양체의 기약 성분의 차원에 관한 추측은 성립하는가?
• RQ4 형식의 공간이 프로젝티브가 아니면, 뷜츠의 고유다양체 구축 방법은 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ5 아이젠스타인 급수의 코homological 구조는 얼마나 깊이 고유다양체를 분류하고 성분의 차원을 예측하는 데 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 비-쿠스피달 형식의 고유다양체는 쿠스피달성의 정도에 따라 필터링함으로써 구축되며, 각 필터링된 부분공간이 프로젝티브이므로, 뷜츠의 기계를 적용할 수 있다.
• 각 중간 고유다양체의 차원은 쿠스피달성 정도에 따라 달라지며, 쿠스피달 형식의 경우 최대가 되고, 전혀 쿠스피달이 아닌 형식의 경우 정확히 1이 된다.
• 어urban의 $ GSp_4$ 고유다양체의 기약 성분의 차원에 관한 추측은 약간의 조건 하에 증명되었으며, 고전적 아이젠스타인 급수의 경우 총 가중치 공간의 차원과 일치함을 확인하였다.
• 클래식한 점이 쿠링켄 또는 시벨 아이젠스타인 급수($(3,3)$ 무게를 제외하고)에 대응하는 경우, 고유다양체의 기약 성분 $ I$는 차원 2를 가지며, 어urban의 예측과 일치한다.
• 스펙트럴 시퀀스를 통한 경계 코homology의 분류 결과, 아이젠스타인 시스템의 고유값이 연속적인 코homological 차수(예: 2와 3)에 나타남을 확인하였으며, 이는 차원 예측을 뒷받침한다.
• 이 구축은 이전에 쿠스피달 형식에 국한된 연구를 넘어서, 히다 유형의 일반 가족과 키신–라이 유형의 아이젠스타인 가족을 하나의 일관된 프레임워크로 통합한다.