[논문 리뷰] Eisenstein-Kronecker classes, integrality of critical values of Hecke $L$-functions and $p$-adic interpolation

Guido Kings, Johannes Sprang|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 08.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 전체적으로 복소수인 수체 위에서 대수적 헤크 캐릭터에 대한 헤크 L함수의 임계값의 정수성을 증명한다. 이를 위해 CM 아벨 스킴의 코homology에 있는 Γ-등변 일관 Eisenstein-Kronecker 클래스를 구성함으로써 이루어지며, 이 클래스들과 Poincaré 번들의 p진 비퇴화화를 이용하여, 일반적인 경우에 임계 L값을 보간하는 p진 측도를 구축한다. 이는 Damerell, Shimura, Katz의 고전적 결과를 모든 전체적으로 복소수인 수체로 일반화한다.

ABSTRACT

We show that for an arbitrary totally complex number field $L$ the (regularized) critical $L$-values of algebraic Hecke characters of $L$ divided by certain periods are algebraic integers. This relies on a new construction of an equivariant coherent cohomology class with values in the completion of the Poincaré bundle on an abelian scheme $\cal{A}$. From this we obtain a cohomology class for the automorphism group of a CM abelian scheme $\cal{A}$ with values in some canonical bundles, which can be explicitly calculated in terms of Eisenstein-Kronecker series. As a further consequence, using an infinitesimal trivialization of the Poincaré bundle, we construct a $p$-adic measure interpolating the critical $L$-values in the ordinary case. This generalizes previous results for CM fields by Damerell, Shimura and Katz and settles the algebraicity and $p$-adic interpolation in the remaining open cases of critical values of Hecke $L$-functions.

연구 동기 및 목표

• 임의의 CM 체의 유한 확장 위에서 헤크 캐릭터에 대한 임계 L값의 정수성 문제를 해결한다.
• CM 체에서의 Katz의 p진 보간 결과를 모든 전체적으로 복소수인 수체로 일반화한다.
• 등변 코hom로직을 이용하여 일반적인 경우에 임계값을 보간하는 p진 측도를 구축한다.
• 등변 일관 Eisenstein-Kronecker 클래스를 통한 통일된 코hom로직 프레임워크를 제공하여 임계 L값을 수립한다.
• 임의의 전체적으로 복소수인 수체의 맥락에서 임계 L값에 대한 약한 데일리 추측을 확립한다.

제안 방법

• Eisenstein-Kronecker 급수를 통해 아벨 스킴 위의 Poincaré 번들의 완비화에 값이 있는 등변 일관 코hom로직 클래스를 구성한다.
• L함수의 특수값과 주기로 표현된 등변 일관 Eisenstein-Kronecker 클래스를 명시적으로 계산한다.
• Poincaré 번들의 무한소 비퇴화화를 이용하여, 사이클로타omic Z_p 확장의 갈루아 군 위에 p진 측도를 정의한다.
• 등변 코hom로직을 위한 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 군 코hom로직과 불변의 유도 함자 간의 관계를 규명한다.
• 위상적 및 대수적 등변 코hom로직 간의 비교를 통해 몫 공간 E ×_Γ X의 코hom로직을 계산한다.
• 헤이크 캐릭터가 갈루아 군에 작용하는 방식을 분석하고, 이를 L값과 매칭함으로써 p진 측도의 보간 성질을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 전체적으로 복소수인 수체 위에서 대수적 헤크 캐릭터에 대한 헤크 L함수의 임계값은 적절한 주기로 정규화된 후에도 대수적 정수인가?
• RQ2 임의의 전체적으로 복소수인 수체에 대해 일반적인 경우에 임계 L값을 보간하는 p진 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ3 Eisenstein-Kronecker 클래스는 다양한 CM 및 비-CM 체들 사이에서 특수 L값의 코hom로직 구성 방식을 어떻게 통합할 수 있는가?
• RQ4 정규화된 L값의 정확한 정수성 조건은 판별식, 도전도수, 주기 등으로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ5 p진 측도의 구성은 CM 체를 초월하여 어떻게 확장될 수 있으며, 어떤 조건에서 가능할까?

주요 결과

• 주기 $ \Omega^\alpha \Omega^{\vee\beta} $로 정규화된 임계 L값 $ L(\chi,0) $는 $ d_L \mathfrak{f} N(\mathfrak{c}) $를 나누는 소수들을 역수화한 후, 수체 $ k $ 안의 대수적 정수이다.
• 이 정수성 결과는 이전의 Damerell, Shimura, Katz의 결과를 일반화하여, CM 체가 아닌 임의의 유한 확장 $ L $에 대한 모든 대수적 헤크 캐릭터에 대해 성립한다.
• 모든 헤크 캐릭터에 대해 임계 L값을 정규화한 것을 보간하는 p진 측도 $ \mu_{\mathscr{O}_L} $가 존재하며, 모든 임계점에서 보간 성질을 만족한다.
• 함수방정식에 의존하지 않아서, Katz의 방법이 함수방정식에 의존하는 것과 달리, 모든 임계값을 동시에 다룰 수 있다.
• 등변 일관 Eisenstein-Kronecker 클래스를 통한 통일된 코hom로직 프레임워크는 비-CM 체에 대해서도 유효하여, 일반적인 방법을 제공한다.
• 이 결과는 임의의 전체적으로 복소수인 수체의 맥락에서 임계 L값에 대한 약한 데일리 추측을 확인하며, Blasius의 정리의 확장이다.