[论文解读] Electronic Structure in a Fixed Basis is QMA-complete

Bryan O’Gorman, Sandy Irani+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文证明了在固定单粒子基下计算电子结构哈密顿量的基态能量是QMA-完全的，即使电子数固定不变。作者通过费米 Hubbard 模型从反铁磁海森堡哈密顿量进行约化，表明该问题在物理上合理的约束条件下仍保持计算困难，并进一步证明在此设定下 Hartree-Fock 能量估计是 NP-完全的。

ABSTRACT

Finding the ground state energy of electrons subject to an external electric field is a fundamental problem in computational chemistry. We prove that this electronic-structure problem, when restricted to a fixed single-particle basis and fixed number of electrons, is QMA-complete. Schuch and Verstraete have shown hardness for the electronic-structure problem with an additional site-specific external magnetic field, but without the restriction to a fixed basis. In their reduction, a local Hamiltonian on qubits is encoded in the site-specific magnetic field. In our reduction, the local Hamiltonian is encoded in the choice of spatial orbitals used to discretize the electronic-structure Hamiltonian. As a step in their proof, Schuch and Verstraete show a reduction from the antiferromagnetic Heisenberg Hamiltonian to the Fermi-Hubbard Hamiltonian. We combine this reduction with the fact that the antiferromagnetic Heisenberg Hamiltonian is QMA-hard to observe that the Fermi-Hubbard Hamiltonian on generic graphs is QMA-hard, even when all the hopping coefficients have the same sign. We then reduce from Fermi-Hubbard by showing that an instance of Fermi-Hubbard can be closely approximated by an instance of the Electronic-Structure Hamiltonian in a fixed basis. Finally, we show that estimating the energy of the lowest-energy Slater-determinant state (i.e., the Hartree-Fock state) is NP-complete for the Electronic-Structure Hamiltonian in a fixed basis.

研究动机与目标

• 确定当限制在固定单粒子基和固定电子数时，近似电子结构哈密顿量基态能量的计算复杂度。
• 通过证明无需依赖于特定位置的磁场，填补先前工作中存在的空白，这些磁场在早期约化中被使用。
• 证明即使在固定基和均匀跃迁符号等物理上合理的约束下，电子结构问题的固有复杂性依然存在。
• 通过识别不降低计算难度的结构特性，明确量子模拟中可 tractable 与不可 tractable 实例之间的边界。
• 确立在固定基电子结构模型中 Hartree-Fock 能量估计的复杂度。

提出的方法

• 从已知为 QMA-难的反铁磁海森堡哈密顿量约化到一般图上的费米 Hubbard 哈密顿量。
• 使用已知的从反铁磁海森堡模型到费米 Hubbard 模型的约化，即使所有跃迁系数符号相同，也保持 QMA-难性。
• 通过在空间轨道上编码局域相互作用，将费米 Hubbard 哈密顿量映射到固定基下的电子结构哈密顿量。
• 采用高斯型轨道和积分近似，将 Hubbard 模型的局域项和跃迁项嵌入电子结构哈密顿量的库仑项和动能项中。
• 应用变分原理和电子关联积分的界，确保映射系统的能谱在所需误差容限内近似于原始 Hubbard 模型。
• 通过将变分空间限制为单 Slater 表 determinant 来分析 Hartree-Fock 能量问题，并通过约化到一个已知的 NP-完全约束满足问题，证明其 NP-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定基下，电子结构问题是否即使电子数和轨道数固定，仍是 QMA-完全的？
• RQ2 费米 Hubbard 模型的 QMA-难性是否可被固定基离散化下的电子结构哈密顿量继承？
• RQ3 在电子结构模型中仅存在排斥性库仑相互作用和统一跃迁符号的情况下，是否仍会产生计算困难？
• RQ4 在固定基电子结构模型中，计算 Hartree-Fock 能量的复杂度是什么？
• RQ5 通过空间轨道（而非磁场）编码局部哈密顿量，是否能保持电子结构问题的 QMA-完全性？

主要发现

• 在固定单粒子基和固定电子数下，电子结构问题是 QMA-完全的，表明除非 QMA = BQP，否则不存在高效的量子算法求解该问题。
• 从反铁磁海森堡哈密顿量到费米 Hubbard 哈密顿量的约化即使在所有跃迁矩阵元符号相同时也保持 QMA-难性。
• 在一般图上的费米 Hubbard 哈密顿量是 QMA-难的，表明该问题在物理上合理的条件下依然困难。
• 在固定基下的电子结构哈密顿量可以以任意精度模拟费米 Hubbard 模型，且能谱在可控误差界内保持不变。
• 在固定基电子结构哈密顿量中寻找最低能量 Hartree-Fock 态（即最优单 Slater 表 determinant）的问题是 NP-完全的。
• 作者推导出库仑积分最大值及其负贡献的界，表明在几何约束下映射仍保持稳定，当 $ \alpha\Gamma^2 \geq 64 $ 时，有 $ u^{(\text{neg})}_{\text{max}} \leq 2\beta^3 / \Gamma $。