[논문 리뷰] Elliptic curves with 3-adic Galois representation surjective mod 3 but not mod 9

Noam D. Elkies|ArXiv.org|2006. 12. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 3-진 갈루아 표현이 3 모듈로에서는 전사이지만 9 모듈로에서는 전사가 아닌 유리수 위의 타원곡선을 매개변수화하는 유리수 위의 종수 0 모듈라 곡선 $𝕀_9$를 구성한다. 차수 27인 유리 함수 $f(x)$를 사용하여 이러한 곡선이 무한히 존재하며, 예를 들어 $1944 = 2^3 3^5$의 도수를 가진 $Y^2 = X^3 - 27X - 42$와 같은 명시적 예도 포함된다. 또한 이 구성에서 유도되는 모든 비영인 정수 $j$-불변량이 완전히 나열됨을 증명한다.

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve over Q, and rho_l: Gal(Q) --> GL_2(Z_l) its l-adic Galois representation. Serre observed that for l>3 there is no proper closed subgroup of SL_2(Z_l) that maps surjectively onto SL_2(Z/lZ), and concluded that if rho_l is surjective mod l then it is surjective onto GL_2(Z_l). We show that this no longer holds for l=3 by describing a modular curve X of genus 0 parametrizing elliptic curves for which rho_3 is not surjective mod 9 but generically surjective mod 3. The curve X is defined over Q, and the modular cover X --> X(1) has degree 27 so X is rational. We exhibit an explicit rational function of degree 27 that realizes this cover, and use it to exhibit several elliptic curves with nonzero j-invariant that satisfy this condition on rho_3, of which the simplest are the curves Y^2 = X^3 - 27X - 42 and Y^2 + Y = X^3 - 135X - 604 of conductors 1944 = 2^3 3^5 and 6075 = 3^5 5^2 respectively.

연구 동기 및 목표

• 세르의 암묵적 질문, 즉 3-진 갈루아 표현이 mod 3에서는 전사일 수 있지만 mod 9에서는 전사가 아닐 수 있는지에 대한 해결.
• 이러한 타원곡선을 매개변수화하는 $𝕀_9$라는 $𝕀$ 위의 모듈라 곡선을 구성.
• 커버 $𝕀_9 \to X(1)$를 실현하는 차수 27인 명시적 유리 함수 $f(x)$를 계산.
• 3-진 갈루아 표현이 mod 3에서는 전사이지만 mod 9에서는 전사가 아닌 타원곡선의 모든 비영인 정수 $j$-불변량을 결정.
• 최소 도수를 가진 이러한 타원곡선의 명시적 예를 제공.

제안 방법

• 3 모듈로에서 $𝕀_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$로 등복사되는 $𝕀_2(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})$의 부분군 $G$를 구성하고, $𝕀_2(\mathbb{Z}_3)$에서의 상호역행이 진부분군임을 보임.
• $𝕀_9 = X(9)/G$로 정의하고, 커버의 홀수 차수 27과 리만-허리츠 공식을 이용해 $𝕀$ 위에서 유리적임을 증명.
• 시겔 함수의 곱을 사용해 $X(9)$ 위에 모듈라 단위를 구성하고, $\overline{\mathbb{Q}}$ 위에서 분수선형 변환을 적용하여 $𝕀$ 위에서 정의된 유리 함수 $x$로 내림림.
• $𝕀_9$에 대한 아핀 모델을 $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$에서 이차수 $(3,4)$의 곡선으로 구성하고, 카스프 형식의 $q$-전개를 통해 정칙 미분의 기저를 계산.
• CM 모듈라 형식을 적분하여 $j$-불변량을 $𝕀(1)$에서 $𝕀_9$로 당기는 유리 함수 $f(x)$를 얻고, 그 차수가 27임을 검증.
• 분수의 분자와 분모의 결과식을 사용해 $f(x) \in \mathbb{Z}$일 때 분모가 3의 거듭제곱이어야 함을 보이고, 이는 투에 방정식 분석으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리수 위에 존재할 수 있는 타원곡선 중에서 3-진 갈루아 표현이 mod 3에서는 전사이지만 mod 9에서는 전사가 아닐 수 있는가?
• RQ2 이러한 곡선을 매개변수화하는 모듈라 곡선 $𝕀_9$가 $𝕀$ 위에서 유리적인가?
• RQ3 이러한 곡선의 $j$-불변량을 매개변수화하는 차수 27인 명시적 유리 함수 $f(x)$는 무엇인가?
• RQ4 어느 유리점이 $𝕀_9$에서 정수 $j$-불변량을 유도하며, 그 값은 무엇인가?
• RQ5 이러한 정수 $j$-불변량은 유한한가? 그리고 완전히 분류될 수 있는가?

주요 결과

• 모듈라 곡선 $𝕀_9$는 $𝕀$ 위에서 유리적이며, $𝕀_9 \to X(1)$의 차수 27 커버를 가지며, 이러한 목적의 타원곡선의 $j$-불변량을 매개변수화하는 차수 27의 유리 함수 $f(x)$를 갖는다.
• 모든 $x \in \mathbb{P}^1(\mathbb{Q})$ 중에서 $f(x) = 0$인 두 점을 제외한 나머지 점들에 대해, $j$-불변량이 $f(x)$인 타원곡선은 $\rho_3$가 mod 3에서는 전사이지만 mod 9에서는 전사가 아니다.
• 비영인 정수 값 $f(x)$는 $x = 1/0, -2, 0, -1/2, 2, -3/2, -1/3$에서만 발생하며, 이에 대응하는 $j$-불변량은 각각 $4374, 419904, -44789760, 15786448344, 24992518538304, -92515041526500, -70043919611288518656$이다.
• 구성된 곡선들 중에서 가장 작은 도수는 $1944 = 2^3 3^5$이며, 이는 $Y^2 = X^3 - 27X - 42$로 실현되며, 도수가 $6075 = 3^5 5^2$인 다른 곡선은 $Y^2 + Y = X^3 - 135X - 604$로 주어진다.
• 함수 $f(x)$로부터 유도되는 모든 비영인 정수 $j$-불변량은 완전히 분류되어 있다: 정확히 일곱 개의 값이 있으며, 이는 투에 방정식 $m^3 - 3mn^2 - n^3 = \pm 1$ 및 $\pm 3$의 해를 통해 구해지며, 이 해들은 나열된 $x$-값들과 대응된다.
• 이 구성은 세르의 열린 이미지 정리의 $l=3$ 해석이 실현 가능함을 확인하며, 이러한 $j$-불변량에 대한 완전하고 효과적인 분류를 제공한다.