[논문 리뷰] Embedding 5-planar graphs in three pages

Hoffmann, Michael, Klemz, Boris|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 22.

Interconnection Networks and Systems참고 문헌 15인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 최대 차수 5를 가진 5-평면 그래프—즉, 5-평면 그래프—를 삼페이지 북 임베딩에 삽입하기 위한 O(n²) 시간 알고리즘을 제시한다. 이는 5-평면 그래프의 페이지 수가 최대 3임을 증명한다. 방법은 그래프를 이중연결 성분으로 재귀적으로 분해하고, 외부 순환을 임베딩한 후, 위상 정렬, 접촉 트리, 앵커 기반 엣지 배치를 조합하여 교차를 방지하는 방식으로 엣지를 페이지에 체계적으로 할당한다.

ABSTRACT

A \emph{book-embedding} of a graph $G$ is an embedding of vertices of $G$ along the spine of a book, and edges of $G$ on the pages so that no two edges on the same page intersect. the minimum number of pages in which a graph can be embedded is called the \emph{page number}. The book-embedding of graphs may be important in several technical applications, e.g., sorting with parallel stacks, fault-tolerant processor arrays design, and layout problems with application to very large scale integration (VLSI). Bernhart and Kainen firstly considered the book-embedding of the planar graph and conjectured that its page number can be made arbitrarily large [JCT, 1979, 320-331]. Heath [FOCS84] found that planar graphs admit a seven-page book embedding. Later, Yannakakis proved that four pages are necessary and sufficient for planar graphs in [STOC86]. Recently, Bekos et al. [STACS14] described an $O(n^{2})$ time algorithm of two-page book embedding for 4-planar graphs. In this paper, we embed 5-planar graphs into a book of three pages by an $O(n^{2})$ time algorithm.

연구 동기 및 목표

• 5-평면 그래프가 세 페이지에 임베딩될 수 있는지 확인하고, 이는 이전에 알려진 4-평면 그래프 결과를 확장하기 위함이다.
• 5-평면 그래프에 대해 두 페이지로 충분한지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위함이다.
• 5-평면 그래프의 세 페이지 북 임베딩을 위한 효율적인 이차시간 알고리즘을 개발하기 위함이다.
• 최대 차수 5를 가진 그래프를 다룰 수 있도록 4-평면 그래프에 사용된 접근 방식을 일반화하기 위함이다.
• 5-평면 그래프의 페이지 수가 최대 3임을 증명하여, 이전에 알려진 상한 4보다 향상된 결과를 도출하기 위함이다.

제안 방법

• 5-평면 그래프를 이중연결 성분으로 분해하고, 다리가 없는 부분그래프를 블록 정점으로 압축하여 삼림 F를 형성한다.
• 외부 순환 Cout을 고정된 스파인 순서에 임베딩하고, 외부 정점들을 연결하는 가장자리 이외의 모든 엣지를 한 페이지에 배치한다.
• 의존성 인식 순서로 정점 처리를 위해 보조 그래프 GT_aux에 위상 정렬을 적용한다.
• 접촉 트리 Gtan에 대해 너비 우선 탐색(BFS)을, 앵커 트리 T에 대해 깊이 우선 탐색(DFS)을 적용하여 엣지 할당과 평면성 조건을 유지한다.
• 블록 정점을 그에 해당하는 외부 순환으로 대체하고 재귀적으로 내부 부분그래프를 임베딩함으로써 재귀적으로 내부 부분그래프를 임베딩한다.
• 외부 순환에 있는 정점에 인접한 엣지를 코르드 차수와 앵커 위치 기반으로 페이지에 할당하고, 교차를 방지하기 위해 케이스 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 5-평면 그래프는 세 페이지에 임베딩될 수 있으며, 이 상한은 날카로운가?
• RQ2 5-평면 그래프의 페이지 수는 여전히 유계이며, 필요한 최소 페이지 수는 얼마인가?
• RQ3 4-평면 그래프에 대해 사용된 O(n²) 알고리즘을 5-평면 그래프에 대해 세 페이지로 확장할 수 있는가?
• RQ4 5-평면 그래프의 페이지 수를 두 개로 줄일 수 있는가, 아니면 세가 최소인가?
• RQ5 교차를 방지하기 위해 재귀적 분해 및 엣지 할당 전략을 어떻게 형식화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 5-평면 그래프에 대해 삼페이지 북 임베딩을 구성하는 이차시간 알고리즘을 제시한다.
• 5-평면 그래프의 페이지 수는 최대 3이며, 이는 이전의 상한 4보다 향상된 결과이다.
• 이 알고리즘은 이전에 두 페이지로 충분했던 4-평면 그래프에 사용된 접근 방식을 확장한 것이다.
• 교차가 발생하지 않도록 보장하는 불변성 조건(IP-1에서 IP-5)을 통해 임베딩의 정확성이 유지된다.
• 코어 구성과 앵커 배치를 신중히 분석함으로써 차수 5인 정점에 대한 충돌을 효과적으로 처리한다.
• 알고리즘은 O(n²) 시간에 실행되어, VLSI 설계 및 그래프 레이아웃 분야에서 실용적 응용에 유리하다.