[논문 리뷰] Embeddings between weighted complementary local Morrey-type spaces and weighted local Morrey-type spaces

Амиран Гогатишвили, Rza Mustafayev외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 21.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가중치가 부여된 보완 국소 모레이 유형 공간과 가중치가 부여된 국소 모레이 유형 공간 간의 임베딩에서 최적 상수에 대한 날카운 양방향 추정을 수립한다. 문제를 반복된 하디 유형 부등식으로 환원하고 쌍대성 및 외삽 기법을 적용함으로써, 기저가 되는 가중치와 매개변수에 대한 임베딩 상수의 명시적 특성화를 도출한다.

ABSTRACT

In this paper embeddings between weighted complementary local Morrey-type spaces ${\,^{^{\bf c}}\!}LM_{pθ,ω}({\mathbb R}^n,v)$ and weighted local Morrey-type spaces $LM_{pθ,ω}({\mathbb R}^n,v)$ are characterized. In particular, two-sided estimates of the optimal constant $c$ in the inequality \begin{equation*} \bigg( \int_0^{\infty} \bigg( \int_{B(0,t)} f(x)^{p_2}v_2(x)\,dx \bigg)^{\frac{q_2}{p_2}} u_2(t)\,dt\bigg)^{\frac{1}{q_2}} \le c \bigg( \int_0^{\infty} \bigg( \int_{\,^{^{\bf c}\!}B(0,t)} f(x)^{p_1} v_1(x)\,dx\bigg)^{\frac{q_1}{p_1}} u_1(t)\,dt\bigg)^{\frac{1}{q_1}} \end{equation*} are obtained, where $p_1,\,p_2,\,q_1,\,q_2 \in (0,\infty)$, $p_2 \le q_2$ and $u_1,\,u_2$ and $v_1,\,v_2$ are weights on $(0,\infty)$ and ${\mathbb R}^n$, respectively. The proof is based on the combination of duality techniques with estimates of optimal constants of the embeddings between weighted local Morrey-type and complementary local Morrey-type spaces and weighted Lebesgue spaces, which reduce the problem to the solutions of the iterated Hardy-type inequalities.

연구 동기 및 목표

• 가중치가 부여된 보완 국소 모레이 유형 공간과 가중치가 부여된 국소 모레이 유형 공간 간의 임베딩 연산자의 유계성을 특성화하는 것.
• 관련된 가중치와 매개변수에 대해 최적 임베딩 상수에 대한 날카운 양방향 추정을 도출하는 것.
• 모레이 유형 공간 간의 임베딩 문제를 반복된 하디 유형 부등식 연구로 환원하는 것.
• 쌍대성 및 외삽 기법을 사용하여 임베딩 연산자의 유계성에 필요한 필수 및 충분 조건을 수립하는 것.

제안 방법

• 가중치가 부여된 레베그 공간에서의 수반 연산자의 유계성과 관련지어 임베딩 문제를 연결하기 위해 쌍대성 기법을 활용한다.
• 기존의 가중치 부등식에 대한 결과를 활용하여 반복된 하디 유형 연산자의 유계성을 특성화함으로써 임베딩 문제를 환원한다.
• 가중치가 부여된 레베그 공간 이론과 반복된 하디 부등식을 적용하여 최적 임베딩 상수의 명시적 표현을 도출한다.
• 가중치가 부여된 레베그 공간에서 하디 연산자 $ H^* $ 와 그 노름 추정을 활용하여 임베딩 상수를 분석한다.
• 모레이 유형 노름을 정의하기 위해 노름 등가성 $ igraceVert f igraceVert_{ ext{space}} = igraceVert igraceVert f igraceVert_{L_p(v, B(0,r))} igraceVert_{L_ heta( ext{weight}, (0,ty))} $ 을 적용한다.
• 가중치가 부여된 레베그 공간에서 $ H^* $ 의 유계성에 대한 알려진 특성화를 적용하여 임베딩 상수에 대한 최종 추정을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치가 부여된 보완 국소 모레이 유형 공간이 가중치가 부여된 국소 모레이 유형 공간에 포함될 때 유계성이 보장되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 공간 간의 최적 임베딩 상수는 가중치와 매개변수에 대해 어떻게 명시적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 $ p_1, p_2, heta_1, heta_2 $ 와 $ v_1, v_2, ho_1, ho_2 $ 의 매개변수가 임베딩의 유계성에 어떤 방식으로 영향을 미치는가?
• RQ4 모레이 유형 공간 간의 임베딩 문제는 어떻게 반복된 하디 유형 부등식 연구로 환원될 수 있는가?
• RQ5 쌍대성은 이러한 임베딩에서 최적 상수를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 최적 임베딩 상수 $ igraceVert ext{Id} igraceVert_{ ext{embedding}} $ 는 $ igraceVert igraceVert igraceVert ext{Id} igraceVert_{ ext{dual}} igraceVert $ 와 등가이며, 여기서 쌍대는 하디 연산자 $ H^* $ 를 통해 표현된다.
• $ \theta_1 \neq \theta_2 $ 인 경우 최적 상수는 두 항 $ C_3 $ 과 $ C_4 $ 로 구성되며, $ C_3 $ 은 $ \rho_1 $ 의 전역 $ L^\theta $ 노름에 의존하고, $ C_4 $ 는 더 복잡한 적분 표현을 포함한다.
• $ \theta_1 \to \theta_2 $ 일 때, $ C_4 $ 의 표현이 단순화되며, $ \tilde{V}(t) $, 즉 $ v_2 $ 의 가중치가 부여된 적분과 $ \rho_1 $-노름의 감소 성향이 이를 지배한다.
• 임베딩 상수는 명시적으로 $ \bigraceVert \text{Id} \bigraceVert \thickapprox \bigraceVert \rho_2 \bigraceVert_{\theta_2, (t,\infty)} \bigraceVert \bigraceVert \rho_1^{-1} \bigraceVert_{\theta_1, (0,|x|)} \bigraceVert_{\text{ess sup}, v_1^{-1}v_2, B(0,t)} $ 로 주어지며, 이는 반경 방향 가중치와 노름에 대한 의존성을 보여준다.
• 결과는 날카롭고, 하디 유형 부등식의 기존 특성화를 모레이 유형 공간의 맥락으로 확장하여 주어진 매개변수 제약 조건 하에서 임베딩 문제에 대한 완전한 해를 제공한다.