[논문 리뷰] Embeddings of Decomposition Spaces into Sobolev and BV Spaces

Felix Voigtlaender|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 10.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 분해 공간이 소볼레프 공간과 BV 공간으로의 임베딩에 대해 날카롭고 완전한 특성화를 확립한다. $\pi(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$가 성립하는 조건을 구체적이고 계산 가능한 조건—덮개 기하학과 수열 공간 가중치에 기반하여—제시하며, $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$에 대해 완전한 동치성을 확보하고, $W^{1,1}$을 통해 BV로의 임베딩으로 확장한다.

ABSTRACT

In the present paper, we investigate whether an embedding of a decomposition space $\mathcal{D}\left(\mathcal{Q},L^{p},Y ight)$ into a given Sobolev space $W^{k,q}(\mathbb{R}^{d})$ exists. As special cases, this includes embeddings into Sobolev spaces of (homogeneous and inhomogeneous) Besov spaces, ($α$)-modulation spaces, shearlet smoothness spaces and also of a large class of wavelet coorbit spaces, in particular of shearlet-type coorbit spaces. Precisely, we will show that under extremely mild assumptions on the covering $\mathcal{Q}=\left(Q_{i} ight)_{i\in I}$, we have $\mathcal{D}\left(\mathcal{Q},L^{p},Y ight)\hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^{d})$ as soon as $p\leq q$ and $Y\hookrightarrow\ell_{u^{\left(k,p,q ight)}}^{q^{ riangledown}}\left(I ight)$ hold. Here, $q^{ riangledown}=\min\left\{ q,q' ight\} $ and the weight $u^{\left(k,p,q ight)}$ can be easily computed, only based on the covering $\mathcal{Q}$ and on the parameters $k,p,q$. Conversely, a necessary condition for existence of the embedding is that $p\leq q$ and $Y\cap\ell_{0}\left(I ight)\hookrightarrow\ell_{u^{\left(k,p,q ight)}}^{q}\left(I ight)$ hold, where $\ell_{0}\left(I ight)$ denotes the space of finitely supported sequences on $I$. All in all, for the range $q \in (0,2]\cup\{\infty\}$, we obtain a complete characterization of existence of the embedding in terms of readily verifiable criteria. We can also completely characterize existence of an embedding of a decomposition space into a BV space.

연구 동기 및 목표

• 분해 공간에서 소볼레프 공간 $W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$로의 임베딩에 대해 완전하고 날카로운 특성화를 제공하는 것.
• 베졸 공간, 모odulation 공간, 쉐어랫, 공좌터 공간에 대한 기존 결과를 통합하고 일반화하는 것.
• BV 공간으로의 임베딩에 대한 필요 및 충분 조건을 $W^{1,1}$로의 임베딩과의 동치성에 의해 확립하는 것.
• 특수한 경우 $Y = \ell_v^r(I)$일 때, 임베딩 조건의 검증을 푸리에 분석을 피하는 원시적 미적분 기반 절차로 단순화하는 것.

제안 방법

• 주파수 덮개 $\mathcal{Q} = (Q_i)_{i \in I}$와 수열 공간 $Y \leq \mathbb{C}^I$를 이용해 분해 공간 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y)$를 정의한다.
• 덮개 $\mathcal{Q}$와 매개변수 $k,p,q$로부터 유도된 가중치 $u^{(k,p,q)}$를 도입하며, 이는 임베딩 행동을 지배한다.
• 임베딩 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$가 성립함과 동시에 $p \leq q$ 이며 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$이 성립함을 보이며, 여기서 $q^\triangledown = \min\{q, q'\}$이다.
• $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$일 때, 조건 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$가 필요 및 충분 조건임을 증명한다.
• $Y = \ell_v^r(I)$일 경우, 임베딩 조건을 $\frac{u}{v} \in \ell^{s \cdot (r/s)'}(I)$로 단순화하여, 푸리에 분석 없이도 미적분 기반 검증이 가능하게 한다.
• 공좌터 공간의 동형 $\mathrm{Co}(L_v^{p,q}(\mathbb{R}^d \rtimes H)) \cong \mathcal{D}(\mathcal{Q}_H, L^p, \ell_u^q)$를 이용해 결과를 웨이블릿 및 쉐어랫 공좌터 공간으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 분해 공간 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y)$가 소볼레프 공간 $W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$로 임베딩되는가?
• RQ2 임베딩이 $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$에 대해 완전하게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 분해 공간이 유계 $k$-번 연속 미분 가능한 함수 공간 $C_b^k(\mathbb{R}^d)$로 임베딩되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 BV로의 임베딩과 $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$로의 임베딩 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 특수한 경우 $Y = \ell_v^r(I)$일 때, 임베딩 조건을 순수하게 국소적이고 미적분 기반의 점검으로 단순화할 수 있는가?

주요 결과

• 임베딩 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,q}(\mathbb{R}^d)$가 성립함과 동시에 $p \leq q$ 이며 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$이 성립함을 보이며, 여기서 $q^\triangledown = \min\{q, q'\}$이다.
• $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$일 때, 조건 $Y \hookrightarrow \ell_{u^{(k,p,q)}}^{q^\triangledown}(I)$는 필요 및 충분 조건이며, 이는 완전한 특성화를 이룬다.
• 임베딩 $\mathcal{D}(\mathcal{Q},L^p,Y) \hookrightarrow W^{k,\infty}(\mathbb{R}^d)$는 $C_b^k(\mathbb{R}^d)$로의 임베딩과 동치이다.
• 분해 공간이 BV로 임베딩되는 것은 $W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$로의 임베딩과 동치이다.
• $Y = \ell_v^r(I)$일 경우, 조건 $Y \hookrightarrow \ell_u^s(I)$는 $\frac{u}{v} \in \ell^{s \cdot (r/s)'}(I)$로 단순화되며, 이는 푸리에 분석 없이도 원시적 검증이 가능하게 한다.
• 기준은 $q \in (0,2] \cup \{\infty\}$에 대해 날카롭고, 쉐어랫 유형의 공좌터 공간과 대각선 군 공좌터 공간에 대해서도 여전히 매우 효과적이다.