[논문 리뷰] Endomorphisms of relatively hyperbolic groups

Igor Belegradek, Andrzej Szczepański외 1명|arXiv (Cornell University)|2005. 01. 20.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 초등적 결과를 상대적으로 초월하는 군으로 확장하여, 비원소적 상대적으로 초월하는 군이 비공호프이거나 무한 외부자기동형군을 가질 경우, 날카로운 군으로 분할됨을 증명한다. 또한, R-나무 위에서 자명한 작용을 하는 비원소적 부분군은 호프형임을 보이며, 모든 유한 생성 군이 카즈한 성질 (T)을 가진 군의 외부자기동형군의 유한 지수 부분군으로 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

We generalize some results of Paulin and Rips-Sela on endomorphisms of hyperbolic groups to relatively hyperbolic groups, and in particular prove the following. (1) If G is a finitely generated non-elementary relatively hyperbolic group with slender parabolic subgroups, and either G is not co-Hopfian or Out(G) is infinite, then G splits over a slender group. (2) If a finitely generated non-parabolic subgroup H of a non-elementary relatively hyperbolic group is not Hopfian, then H acts non-trivially on an R-tree. (3) Every non-elementary relatively hyperbolic group has a non-elementary relatively hyperbolic quotient that is Hopfian. (4) Any finitely presented group is isomorphic to a finite index subgroup of Out(H) for some Kazhdan group H. (This sharpens a result of Ollivier-Wise).

연구 동기 및 목표

• 초월하는 군의 자기동형에 대한 고전적 결과를 더 넓은 범주인 상대적으로 초월하는 군으로 일반화한다.
• 특히 공호프성 및 호프성 조건과 관련하여 상대적으로 초월하는 군의 구조적 성질을 조사한다.
• 호프형 몫과 성질 (T) 군의 외부자기동형군에 대한 유한 지수 임베딩의 존재를 확립한다.
• 히그먼 임bedding과 쿼드바리에티 이론을 통해 토르션 없는 일반 유한 생성 군을 제공한다.

제안 방법

• 베스트비나-폴린 방법을 임의의 원소 부분군을 가진 상대적으로 초월하는 군에 적응하여, JSJ 분해나 단축 방법의 필요성을 피한다.
• 초월하는 군의 정의를 초월하는 공간에서 기하학적으로 유한한 수렴군 작용과 지정된 원소 부분군을 통해 사용한다.
• 수렴군에 대한 티츠의 대안을 적용하여 작은 부분군을 분류하고 원소성을 결정한다.
• 히그먼 임베딩 정리를 사용하여 토르션 없는 군의 쿼드바리에티 내에서 재귀적으로 표현 가능한 일반 군을 구성한다.
• 자기동형군과 외부자기동형군의 구조를 활용하여 임의의 유한 생성 군을 유한 지수 부분군으로 포함한다.
• 자동군 Aut(H)의 초월성은 유한 지수 초월 부분군 G를 포함함으로써 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비원소적 상대적으로 초월하는 군이 날카로운 군으로 분할되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 R-나무에서 등급 작용이 자명한 상대적으로 초월하는 군의 비원소적 부분군 H가 호프형인가?
• RQ3 모든 유한 생성 군이 카즈한 성질 (T)을 가진 어떤 군 H의 외부자기동형군 Out(H)의 유한 지수 부분군으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 모든 토르션 없는 유한 생성 군의 동형 복사본을 포함하는 토르션 없는 일반 유한 생성 군이 존재하는가?

주요 결과

• G가 비원소적 상대적으로 초월하는 군이며, 날카로운 원소 부분군을 가지며, G가 공호프가 아니거나 Out(G)가 무한할 경우, G는 날카로운 군으로 분할된다.
• 상대적으로 초월하는 군 G의 비원소적 부분군 H가 모든 R-나무에서 자명한 등급 작용을 한다면, H는 호프형이다.
• 유한 생성된 외부 부분군을 가진 비원소적 상대적으로 초월하는 군은 호프형인 비원소적 상대적으로 초월하는 몫을 가진다.
• 모든 유한 생성 군은 카즈한 성질 (T)을 가진 어떤 군 H의 외부자기동형군 Out(H)의 유한 지수 부분군과 동형이다. 이는 올리비에-위즈의 결과를 정밀화한다.
• 히그먼 임베딩을 통해 재귀적으로 표현 가능한 토르션 없는 군을 일반 유한 생성 군으로 포함하는 토르션 없는 일반 유한 생성 군이 존재한다.
• 성질 (T)을 가진 군 H의 자동군은 초월적이다. 이는 유한 지수 초월 부분군을 포함하기 때문이다.