[논문 리뷰] Energy conservation in the 3D Euler equations on $\mathbb{T}^2 imes \mathbb{R}_+$

James C. Robinson, José L. Rodrigo외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 01.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 측도를 가진 평평한 경계를 가진 도메인 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 에서 3차원 비압축성 옐러르 방정식의 약한 해에 대해 에너지 보존을 확립한다. 해를 전체 공간 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}$ 로 확장하고, 속도 증분 조건—$\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$—과 함께 경계에서의 연속성 및 불투과 조건을 적용함으로써, 저자들은 운동 에너지가 보존됨을 증명하며, 경계가 있는 영역으로 온스레지 타입 결과를 확장한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to prove energy conservation for the incompressible Euler equations in a domain with boundary. We work in the domain $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}_+$, where the boundary is both flat and has finite measure. However, first we study the equations on domains without boundary (the whole space $\mathbb{R}^3$, the torus $\mathbb{T}^3$, and the hybrid space $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}$). We make use of some of the arguments of Duchon \& Robert ({\it Nonlinearity} {\bf 13} (2000) 249--255) to prove energy conservation under the assumption that $u\in L^3(0,T;L^3(\mathbb{R}^3))$ and one of the two integral conditions \begin{equation*} \lim_{|y| o 0}\frac{1}{|y|}\int^T_0\int_{\mathbb{R}^3} |u(x+y)-u(x)|^3\,d x\,d t=0 \end{equation*} or \begin{equation*} \int_0^T\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{|u(x)-u(y)|^3}{|x-y|^{4+δ}}\,d x\,d y0, \end{equation*} the second of which is equivalent to requiring $u\in L^3(0,T;W^{α,3}(\mathbb{R}^3))$ for some $α>1/3$. We then use the first of these two conditions to prove energy conservation for a weak solution $u$ on $D_+:=\mathbb{T}^2 imes \mathbb{R}_+$: we extend $u$ a solution defined on the whole of $\mathbb{T}^2 imes\mathbb{R}$ and then use the condition on this domain to prove energy conservation for a weak solution $u\in L^3(0,T;L^3(D_+))$ that satisfies \begin{equation*} \lim_{|y| o 0} \frac{1}{|y|}\int^{T}_{0}\iint_{\mathbb{T}^2}\int^\infty_{|y|}|u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \,d x_3 \,d x_1 \,d x_2 \,d t=0, \end{equation*} and certain continuity conditions near the boundary $\partial D_+=\{x_3=0\}$.

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 도메인, 특히 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 에서 비압축성 옐러르 방정식의 약한 해에 대해 에너지 보존을 확립하는 것.
• 무한 도메인인 $\mathbb{R}^3$ 와 $\mathbb{T}^3$ 에서 알려진 에너지 보존 기준을 평평하고 유한 측도를 가진 경계를 가진 도메인으로 확장하는 것.
• 3차원 무한 영역에서 알려진 에너지 보존의 가장 약한 조건—$L^3$ 노름을 포함한 속도 증분 조건—이 경계 연속성과 조합될 경우에도 여전히 충분한 지 확인하는 것.
• 에너지 보존 결과가 $d \geq 2$ 인 고차원 경계 영역인 $\mathbb{T}^{d-1} \times \mathbb{R}_+$ 에서도 성립함을 보여주는 것.

제안 방법

• 경계 $x_3 = 0$ 에서의 기저 반사 방법을 사용하여 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 에 정의된 약한 해를 전체 공간 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}$ 로 확장한다.
• 확장된 해에 대해 속도 증분 조건 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ 를 적용한다.
• 이 조건이 Duchon & Robert (2000) 및 Shvydkoy (2009) 에 의해 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}$ 에서 에너지 보존을 암시한다는 사실을 이용한다.
• 해의 연속성과 경계에서의 불투과 조건 $u \cdot n = 0$ 을 활용하여, $|x_3| \leq |y|$ 영역의 경계 기여도를 분석한다.
• 경계층에서 극한과 적분의 순서를 바꾸는 것을 정당화하기 위해 최대수렴정리(Dominated Convergence Theorem)를 적용하여, 기여도가 $|y| \to 0$ 일 때 소멸됨을 보인다.
• 해가 $u \in L^3(0,T;L^\infty(\mathbb{T}^2 \times [0,\delta)))$ 이고, 거의 모든 $t$ 에 대해 $u(\cdot,t) \in C_{\partial D_+}$ 라는 조건을 가정함으로써, 경계 근처의 정(regularity)을 확보하고 에너지 균형이 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유체역학에서 에너지 보존을 위한 가장 약한 알려진 조건—속도 증분에 기반한 조건—이 평평한 경계를 가진 영역에서도 여전히 유효한가?
• RQ2 3차원 무한 영역에서의 조건과 유사한 조건 하에 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 에서의 약한 해에 대해 에너지 보존을 확립할 수 있는가?
• RQ3 해가 경계에서 미분 가능하지 않을 경우, 에너지 보존 증명에서 경계 효과를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 조건 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ 이 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 에서 에너지 보존을 보장하는 데 충분한가?
• RQ5 해를 반사하여 확장하는 방법을 사용하여, 유한한 영역으로의 에너지 보존 결과를 무한 영역에서 유한 영역으로 이 trasfer 할 수 있는가?

주요 결과

• 해 $u \in L^3(0,T;L^3(D_+))$ 에 대해 도메인 $D_+ = \mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}_+$ 에서 조건 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ 이 성립할 경우, 에너지가 보존됨을 보였다.
• 해의 경계에서의 연속성과 불투과 조건 $u \cdot n = 0$ 으로 인해, $|y| \to 0$ 일 때 경계 기여도가 소멸되며, 이는 확장된 해 $u_E$ 가 $x_3 = 0$ 에서 연속임을 보장한다.
• 에너지 증분을 세 영역—$x_3 > |y|$ , $x_3 < -|y|$ , $|x_3| \leq |y|$ —으로 나누어 분석하였으며, 경계 영역이 핵심적인 경우임을 밝혔다.
• $u$ 가 $L^3(0,T;L^\infty(\mathbb{T}^2 \times [0,\delta)))$ 에 유계임으로써, 최대수렴정리를 적용하여 시간 적분 안에서 극한을 바꾸는 것이 가능해진다.
• 결과는 $d \geq 2$ 인 $\mathbb{T}^{d-1} \times \mathbb{R}_+$ 영역으로도 확장되며, 이는 방법이 차원에 무관함을 시사한다.
• 조건 $\lim_{|y|\to 0} \frac{1}{|y|} \int_{t_1}^{t_2} \iint_{\mathbb{T}^2} \int_{|y|}^{\infty} |u(t,x+y)-u(t,x)|^3 \, dx_3 dx_1 dx_2 dt = 0$ 는 경계가 없는 경우에 알려진 에너지 보존의 가장 약한 기준과 동치이다.