[논문 리뷰] Energy-momentum tensor for the electromagnetic field in a dispersive medium as an application of Noether theorem

Heredia, Carlos, Llosa, Josep|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 14.

Electromagnetic Scattering and Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비균질성 매질에서 전자기 에너지-운동량 텐서를 비국소적 라그랑지안과 비국소 장 이론에 대한 확장된 노이터 정리(Noether's theorem)를 사용하여 유도한다. 주어진 주파수 의존성 있는 유전율 ε(ω)와 투자율 μ(ω)를 포함하는 비국소적 작용 함수에 변분 원리를 적용함으로써, 대칭적인 벨린반테-로젠펠트 유형의 에너지-운동량 텐서를 도출한다. 이는 민코프스키의 수식을 비균질성 매질로 일반화한 것으로, 구속 전하 및 전류 기여를 포함한 에너지와 운동량의 적절한 보존 법칙을 보장한다.

ABSTRACT

On the basis of a non-local Lagrangian for Maxwell equations in a dispersive medium, the energy-momentum tensor of the field is derived. We obtain the Field equations through variational methods and an extension of Noether theorem for a non-local Lagrangian is obtained as well. The electromagnetic energy-momentum tensor obtained in the general context is then specialized to the case of a field with slowly varying amplitude on a rapidly oscillating carrier.

연구 동기 및 목표

• 비균질성 매질에서 비국소적 라그랑지안 기반의 전자기 에너지-운동량 텐서를 유도하는 것.
• 포incare 대칭성에 대한 보존류를 도출하기 위해 노이터 정리를 비국소 장 이론에 확장하는 것.
• 컨볼루션 커널을 통한 극화 및 자화 효과를 포함하여 민코프스키의 에너지-운동량 텐서를 비균질성 매질로 일반화하는 것.
• 기본 비대칭 텐서에서 대칭적인 벨린반테-로젠펠트 텐서를 구성함으로써 에너지와 운동량의 보존을 확보하는 것.
• 구속 전하 및 전류 기여를 고려함으로써 비균질성 매질에서 표준 파인팅 정리가 실패하는 원인를 해결하는 것.

제안 방법

• 주파수 의존성 있는 ε(ω)와 μ(ω)의 푸리에 변환을 통해 유도된 컨볼루션 커널을 사용하여 비균질성 매질에서 맥스웰 방정식을 위한 비국소적 라그랑지안을 수립하는 것.
• 비국소적 기능에 대한 변분법을 적용하여, 비국소 함수에 대한 오일러-라그랑즈 방정식을 통해 장 방정식을 도출하는 것.
• 스페이스타임 이동과 로렌츠 부스트를 포함한 포incare 변환에 대한 보존류를 도출함으로써 비국소 시스템에 대한 노이터 정리를 확장하는 것.
• 노이터 보존류에서 유도된 비국소적 의존성에 따라 컨볼루션 적분을 통한 보정을 고려한 캐논리컬 에너지-운동량 텐서를 구성하는 것.
• 스핀 및 궤도 각운동량 기여를 포함하는 발산이 없는 수퍼우지텐셜을 추가하여 캐논리컬 텐서를 대칭화하는 벨린반테-로젠펠트 절차를 적용하는 것.
• 저속 변화하는 진폭 필드의 극한에서 대칭적인 벨린반테-로젠펠트 텐서를 명시적으로 평가하여, ε와 μ가 일정할 경우 기존의 비비균질성 결과와의 일관성을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 라그랑지안으로 기술되는 비균질성 매질 내 전자기장에 대해 노이터 정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 유전율과 투자율이 주파수 의존적일 경우 비균질성 매질 내 전자기장의 에너지-운동량 텐서 형태는 어떠한가?
• RQ3 컨볼루션 커널을 통한 극화 및 자화 효과의 포함이 에너지와 운동량의 보존 법칙에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 기본 텐서의 총 에너지-운동량과 발산을 유지하면서도 대칭적인 에너지-운동량 텐서를 비균질성 매질에서 구성할 수 있는가?
• RQ5 왜 표준 파인팅 정리는 비균질성 매질에서 실패하며, 구속 전하 및 전류 기여를 고려함으로써 이를 어떻게 수정할 수 있는가?

주요 결과

• 비균질성 매질 내 전자기장의 에너지-운동량 텐서는 컨볼루션 기반의 구성관계를 포함하는 비국소적 라그랑지안에서 유도되며, 변분 원리를 적용하여 도출된 장 방정식을 통해 얻는다.
• 비국소 장 이론에 대해 노이터 정리의 확장이 수립되었으며, 이는 스페이스타임 이동과 로렌츠 부스트를 포함한 포incare 변환에 대한 보존류를 도출한다.
• 비국소적 의존성에 기인한 비국소 라그랑지안에서 도출된 캐논리컬 에너지-운동량 텐서는 비대칭적이다.
• 스핀 및 궤도 각운동량 기여를 포함하는 발산이 없는 수퍼우지텐셜을 캐논리컬 텐서에 추가함으로써 대칭 텐서인 벨린반테-로젠펠트 텐서를 구성하였으며, 이는 총 에너지-운동량과 발산 보존을 유지한다.
• 비비균질성 극한에서 유도된 벨린반테-로젠펠트 텐서는 표준 민코프스키 형태로 감소하며, 기존 결과와의 일관성을 확인한다.
• 대칭 에너지-운동량 텐서는 구속 전하 및 전류에 저장된 에너지와 운동량을 고려하여 비균질성 매질에서 파인팅 정리의 붕괴 문제를 해결한다.