[论文解读] Enriched diagrams of topological spaces over locally contractible enriched categories

Philippe Gaucher|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文证明了在局部可缩的小范畴上，拓扑空间的富集图的投影模型结构与拓扑空间的标准 Quillen 模型结构是 Quillen 等价的。通过在富集设定下工作，解决了定向同伦理论中的一个关键问题：在非递减同胚群 𝒢 上的同伦余极限无法保持弱同伦类型，表明富集框架恢复了正确的同伦行为。

ABSTRACT

It is proved that the projective model structure of the category of topologically enriched diagrams of topological spaces over a topologically enriched locally contractible small category is Quillen equivalent to the standard Quillen model structure of topological spaces. We give a geometric interpretation of this fact in directed homotopy.

研究动机与目标

• 解决在定向同伦理论中，对非递减同胚群 𝒢 上的同伦余极限无法保持弱同伦类型的失败问题。
• 在富集图的投影模型结构与拓扑空间的标准 Quillen 模型结构之间建立 Quillen 等价性。
• 在 d-空间与多点 d-空间的背景下，提供该等价性的几何解释。
• 证明富集设定在恢复同伦行为方面优于非富集设定，特别是在群 𝒢 的情形下。
• 通过富集范畴理论与混合模型结构，推广同伦余极限构造，使其保持弱等价性。

提出的方法

• 本文使用拓扑富集范畴，并将图定义为从一个小的拓扑富集范畴 𝒫 到 Δ-生成拓扑空间范畴的函子。
• 在该类图的范畴上构造一个投影混合模型结构，其中弱等价性和纤维化在每一点上定义。
• 证明将单点包含进单峰群 𝒢（或 𝒫）的包含映射是一个混合上闭包，从而确保模型结构的正确性质。
• 应用富集同伦代数的结果，特别是 Quillen 二变量伴随理论以及 Shulman 所定义的‘极好范畴’理论。
• 利用范畴中所有映射空间均为上闭包，且将单点包含进 𝒫 的映射为混合上闭包的事实，验证 Quillen 等价性的条件。
• 通过由 𝒫 到单对象范畴的剪裁函子诱导的右 Quillen 函子，建立投影模型结构之间的 Quillen 等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在非递减同胚群 𝒢 上的图 𝒟^𝒢(X,dX) 的同伦余极限即使在输入空间为收缩时也无法保持弱同伦类型？
• RQ2 能否通过富集图的范畴来修正定向同伦理论中同伦余极限构造的缺陷？
• RQ3 在局部可缩范畴上，富集图的投影模型结构是否与标准拓扑空间的 Quillen 模型结构 Quillen 等价？
• RQ4 富集结构在恢复定向同伦理论中同伦余极限的正确同伦行为方面起到何种作用？
• RQ5 混合模型结构与映射空间的上闭包条件如何促成 Quillen 等价性结果？

主要发现

• 在群 𝒢 上的图 𝒟^𝒢(X,dX) 的同伦余极限具有 B𝒢 的同伦型，即使 dX 是单点，该同伦型也非收缩。
• 对于单峰半群 𝒫 = 𝒫，图 𝒟^𝒫(X,dX) 的同伦余极限弱同伦等价于 dX，正确保持了同伦型。
• 当 𝒫 局部可缩时，[𝒫, Top]₀ 上的投影模型结构与 Top 上的标准 Quillen 模型结构 Quillen 等价。
• 在 Cole-Strøm 模型结构中，将单点包含进 𝒢 的映射是混合上闭包，这对模型范畴公理的成立至关重要。
• 由剪裁函子 f*: [Thin(𝒫), Top]₀ → [𝒫, Top]₀ 诱导的 Quillen 伴随是一个 Quillen 等价，从而证明了主要结果。
• 在 [𝒫, Top]₀ 上的投影混合模型结构是右适当的，且与投影 Quillen 模型结构 Quillen 等价，确保其与标准同伦理论的兼容性。