[논문 리뷰] Entire functions of exponential type represented by pseudo-random and random Taylor series

Alexander Borichev, Alon Nishry외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 09.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다항식 또는 거듭제곱형 단위를 가진 계수를 가진 테일러 급수로 생성된 지수형 전함수의 영점의 각도 분포를 조사한다. 영점 분포는 계수 수열의 자기상관관계에 의해 결정되며, 다항식 및 거듭제곱형 위상에 대해 균일한 각도 분포를 증명하고, 영점 집합이 특정 방향을 피하는 데 필요한 스펙트럼 조건을 설정한다.

ABSTRACT

We study the influence of the multipliers $\\xi (n)$ on the angular distribution of zeroes of the Taylor series \\[ F_\\xi (z) = \\sum_{n\\ge 0} \\xi (n) \\frac{z^n}{n!}\\,. \\] We show that the distribution of zeroes of $ F_\\xi $ is governed by certain autocorrelations of the sequence $ \\xi $. Using this guiding principle, we consider several examples of random and pseudo-random sequences $\\xi$ and, in particular, answer some questions posed by Chen and Littlewood in 1967. As a by-product we show that if $\\xi$ is a stationary random integer-valued sequence, then either it is periodic, or its spectral measure has no gaps in its support. The same conclusion is true if $\\xi$ is a complex-valued stationary ergodic sequence that takes values from a uniformly discrete set.

연구 동기 및 목표

• Fξ(z) = ∑ ξ(n) zⁿ / n!의 영점의 각도 분포에 미치는 다항식 ξ(n)의 선택 방식을 이해하는 것.
• 무작위 또는 준주기적 계수에 대한 기존의 영점 분포 결과를 더 넓은 계수의 범주로 확장하는 것.
• 정적 시계열의 스펙트럼 측도와 관련된 전체 함수의 지표도 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• Chen와 Littlewood(1967)가 제기한, ξ(n) = e(n^β)일 때 β ≥ 3/2인 함수의 영점 분포에 관한 미해결 문제를 해결하는 것.
• 정적 정수값 또는 균일하게 산산이 흩어진 값의 시계열에 대해, 스펙트럼 측도가 간극이 없고, 시계열이 주기적이거나 정규화되지 않은 경우를 제외하고는 영점 집합이 주기적이지 않다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• R ≫ 1 및 N ≈ R^{1/2+ε}일 때, W_R(θ) = ∑_{|n|≤N} ξ(n+R) e(nθ) e^{-n²/(2R)}의 지수합의 점근적 분석과 잠재적 이론을 사용한다.
• 영점 분포 문제를 ξ(n)의 자기상관관계에 연결된 지수합의 하한값으로 환원한다.
• Bochner의 정리와 Cartwright의 정리를 적용하여 ξ(n)를 보간하는 근사 전체 함수의 수렴성을 분석한다.
• Laplace 변환에 대한 Pólya의 정리를 사용하여 f(s) = ∑ ξ(n)sⁿ의 해석적 계속성과 Fξ의 지표도 사이의 관계를 설정한다.
• Phragmén–Lindelöf 정리와 수평 스트립 내에서의 균일 수렴성을 사용하여 근사 함수의 성장률을 제어한다.
• 정적 시계열의 스펙트럼 측도 σ(ξ)를 분석하고, σ(ξ)에 간극이 있다면 Fξ는 특정 방향에서 느리게 성장하며, 이는 주기적이거나 탈중요한 경우를 제외하고 지수형이 될 수 없다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ξ(n)에 어떤 조건이 성립할 경우 전체 함수 Fξ(z) = ∑ ξ(n) zⁿ / n!의 영점이 각도에 대해 균일하게 분포하는가?
• RQ2 계수 수열 ξ(n)의 자기상관관계가 Fξ의 영점의 각도 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 정적 시계열 ξ(n)의 스펙트럼 측도와 관련된 전체 함수 Fξ의 지표도 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 ξ(n)가 정적 가우시안 과정일 경우, Fξ의 영점 분포가 비균일해질 수 있는가?
• RQ5 ξ(n)의 정적 성질과 이산적 범위는 스펙트럼 측도에 어떤 제약을 가하며, 특히 지지 집합의 간극에 대해 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• ξ(n) = e(Q(n))이고 Q가 실계수 다항식이며 차수 ≥2이며 적어도 하나의 계수가 무리수일 경우, Fξ는 영점이 각도에 대해 균일하게 분포한다 (즉, ξ는 L-시퀀스이다).
• ξ(n) = e(n^β)이고 비정수 β > 1일 경우, β ≥ 3/2를 포함하여 Fξ는 영점이 각도에 대해 균일하게 분포한다. 이는 Chen와 Littlewood의 추측을 확인한다.
• ξ가 정적 정수값 시계열일 경우, ξ는 주기적이거나 그 스펙트럼 측도의 지지 집합에 간극이 없다.
• ξ가 정적 복소수값의 에르고딕 시계열이며 균일하게 산산이 흩어진 집합에서 값을 취할 경우, ξ가 주기적이지 않다면 스펙트럼 측도에 간극이 없다.
• 정적 가우시안 시계열의 경우, Fξ의 영점 집합은 일반적으로 일정하지 않은 각도 밀도를 가지며, 이는 ξ의 스펙트럼, 즉 자기상관관계에 의해 결정된다.
• Fξ의 지표도는 스펙트럼 σ*(ξ)의 닫힌 볼록 hull에 포함되며, σ(ξ)가 단위원의 호를 피한다면 Fξ는 해당 방향에서 e^r보다 느리게 성장한다.