[논문 리뷰] "Entropic" solutions to a thermodynamically consistent PDE system for phase transitions and damage

Elisabetta Rocca, Riccarda Rossi|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 열역학적으로 일관된 비등온 상전이 및 열 viscoelastic 재료에서 손상 현상을 모델링하는 PDE 시스템에 대해 시간에 대해 전역적인 '엔트로피적' 약한 해의 존재를 확립한다. 내부 에너지 균형을 점근적 내부 에너지 균형으로 대체하고, 소규모 변화 가정 없이 온도 방정식을 엔트로피 부등식과 총 에너지 균형을 통해 수식화함으로써, 에너지 방정식에 존재하는 이차 속도 항을 처리하는 데 성공하였으며, 특별히 설계된 시간 이산화 방법과 철저한 사전 추정을 통해 초기 자료 크기에 제한 없이 존재 결과를 도출하였다.

ABSTRACT

In this paper we analyze a PDE system modelling (non-isothermal) phase transitions and damage phenomena in thermoviscoelastic materials. The model is thermodynamically consistent: in particular, no small perturbation assumption is adopted, which results in the presence of quadratic terms on the right-hand side of the temperature equation, only estimated in L1. The whole system has a highly nonlinear character. We address the existence of a weak notion of solution, referred to as entropic, where the temperature equation is formulated with the aid of an entropy inequality, and of a total energy inequality. This solvability concept reflects the basic principles of thermomechanics as well as the thermodynamical consistency of the model. It allows us to obtain global-in-time existence theorems without imposing any restriction on the size of the initial data. We prove our results by passing to the limit in a time discretization scheme, carefully tailored to the nonlinear features of the PDE system (with its entropic formulation), and of the a priori estimates performed on it. Our time-discrete analysis could be useful towards the numerical study of this model.

연구 동기 및 목표

• 비등온 상전이 및 열 viscoelastic 재료에서의 손상을 모델링하는 열역학적으로 일관된 PDE 시스템에 대해 약한 해의 존재를 확립한다.
• 온도 방정식에 존재하는 이차항과 시스템의 높은 비선형성으로 인한 수학적 과제를 다룬다.
• 소규모 변화 가정 없이 열역학 원리를 반영하는 '엔트로피적' 해라는 새로운 해 개념을 개발한다.
• 초기 자료 크기에 제한 없이 시간에 대해 전역적인 해의 존재를 입증하며, 새로운 시간 이산화 방법을 활용한다.

제안 방법

• 내부 에너지 균형을 점근적 내부 에너지 균형으로 대체하는 약한 해 개념을 도입한다.
• 로그함수를 테스트 함수로 사용하고 엔트로피 기반 부등식을 적용하여 이차항을 처리하는 온도 방정식을 수식화한다.
• 특히 다가치 미분항과 미분 가능하지 않은 에너지 기여를 고려하여 시스템의 비선형적 구조에 맞는 시간 이산화 방법을 적용한다.
• 이산화 방법에 대해 철저한 사전 추정을 수행하며, 엔트로피와 에너지의 유계성을 중심으로 이차항을 제어한다.
• 헤일리의 원리의 일반화된 형태와 영양 측도 이론을 사용하여 시간 이산화 방법에서의 극한을 취한다.
• 유계 변동성과 반사적 바나흐 공간에서의 약한 수렴을 기반으로 한 컴actness 추론을 적용하여 극한 함수를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 온도 방정식에 이차항이 존재하는 열역학적으로 일관된 PDE 시스템에 대해 시간에 대해 전역적인 약한 해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 강한 비선형성 존재 조건 하에서 소규모 변화 가정이 없는 조건으로 해의 존재를 어떻게 조화시킬 수 있는가?
• RQ3 상전이 및 손상을 포함하는 시스템에서 열역학 원리를 가장 잘 반영하는 약한 해 개념은 무엇인가?
• RQ4 비선형적 구조를 유지하면서 수렴이 가능한 전역 해를 도출할 수 있는 시간 이산화 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ5 매우 비선형적인 시스템에서 초기 자료 크기에 제한 없이 존재성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 소규모 변화 가정 없이 전체 PDE 시스템에 대해 시간에 대해 전역적인 '엔트로피적' 약한 해의 존재를 입증한다.
• 엔트로피 부등식과 총 에너지 부등식을 기반으로 한 해 개념은 열역학적 일관성을 보장하며, 온도 방정식의 이차항을 제어할 수 있다.
• 시간 이산화 방법은 다가치 미분항과 비미분 가능 에너지 기여를 포함한 시스템의 비선형성을 특별히 고려하여 설계되었다.
• 이차항에 대한 사전 추정은 L1 공간에서만 수행되었으며, 엔트로피 수식화 덕분에 이를 충분히 확보할 수 있었다.
• 극한 함수는 연속적 설정에서 엔트로피 및 에너지 부등식을 만족하여 해 개념의 타당성을 확인한다.
• 이 방법은 초기 자료 크기에 제한 없이 존재 결과를 도출할 수 있게 하여 이전 접근 방식에 비해 중대한 발전을 이룬다.