[논문 리뷰] Entropy and its variational principle for noncompact metric spaces

Mauro Patrão|ArXiv.org|2008. 04. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 적합한 커버링을 사용하여 비콤팩트 거리 공간에 대한 새로운 위상적 엔트로피 정의를 제안하고, 위상적 엔트로피가 측도론적 엔트로피의 상한과 거리론적 엔트로피의 하한과 같음을 보여주는 변분 원리를 증명한다. 주요 결과는 단순연결된 노름 리 군 위의 자동형사상의 위상적 엔트로피가 0이 된다는 것으로, 이는 고전적인 $d$-엔트로피 공식이 정확한 값이 아니라 상한에 불과하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In the present paper, we introduce a natural extension of AKM-topological entropy for noncompact spaces and prove a variational principle which states that the topological entropy, the supremum of the measure theoretical entropies and the minimum of the metric theoretical entropies always coincide. We apply the variational principle to show that the topological entropy of automorphisms of simply connected nilpotent Lie groups always vanishes. This shows that the classical formula for the entropy of an automorphism of a noncompact Lie group is just an upper bound for its topological entropy.

연구 동기 및 목표

• 적합한 커버링을 사용하여 AKM-위상적 엔트로피를 비콤팩트 거리 공간으로 확장하기.
• 위상적 엔트로피가 측도론적 엔트로피의 상한과 거리론적 엔트로피의 하한과 같아지는 변분 원리를 수립하기.
• 비콤파クト 리 군에서 고전적인 $d$-엔트로피 공식과 실제 위상적 엔트로피 사이의 괴리 문제를 해결하기.
• 단순연결된 노름 리 군 위의 자동형사상의 정확한 위상적 엔트로피를 규명하기.

제안 방법

• 각 집합 또는 그 여집합이 컴팩트한 클로처를 가지는 유한 개의 열린 커버를 적합한 커버링으로 정의하기.
• 위상적 엔트로피를 극한 $ h(T) = \sup_{\alpha} \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log N(\alpha^n) $ 으로 정의하기. 여기서 $ N(\alpha^n) $ 은 $ \alpha^n $ 의 부분커버링에 포함된 최소 집합 수이다.
• 변분 원리 증명: $ h(T) = \sup_{\mu} h_\mu(T) = \inf_d h_d(T) $, 여기서 $ d $ 는 적합한 거리에 대해 변동한다.
• 적절한 반정의 사상들을 사용하여 다양한 동역학 시스템 간의 엔트로피를 비교하기.
• 유한 차원 벡터 공간 위의 선형 사상 분석을 위해 곱셈적 조르당 분해를 적용하기.
• 단순연결된 노름 리 군의 지수 함수가 미분동형사상임을 이용하여 자동형사상을 그 미분형과 동형으로 변환하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비콤팩트 거리 공간에 대해 AKM 정의를 일반화할 수 있는 일관된 위상적 엔트로피 정의가 존재하는가?
• RQ2 비콤팩트 환경에서 위상적, 측도론적, 거리론적 엔트로피를 통합하는 변분 원리가 수립될 수 있는가?
• RQ3 선형 사상의 $d$-엔트로피에 대한 고전적 공식 $ h_d(T) = \sum_{|\lambda|>1} \log|\lambda| $ 이 위상적 엔트로피의 상한인지 정확한 값인지?
• RQ4 단순연결된 노름 리 군 위의 자동형사상의 위상적 엔트로피는 무엇인가?
• RQ5 선형 사상의 반복 집합은 그 곱셈적 조르당 분해를 통해 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• 유한 차원 벡터 공간 위의 선형 동형사상의 위상적 엔트로피는 고전적인 $d$-엔트로피 공식이 암시하는 바와는 달리 항상 0이다.
• 선형 사상 $ T $ 의 반복 집합은 그 쌍곡성 및 유니포텐트 성분의 고정점 집합의 교차와 정확히 일치한다: $ R(T) = \text{fix}(T_H) \cap \text{fix}(T_U) $.
• 단순연결된 노름 리 군의 자동형사상에 대해 위상적 엔트로피는 식별적으로 0이다.
• 고전적인 공식 $ h_d(\phi) = \sum_{|\lambda|>1} \log|\lambda| $ 은 진정한 위상적 엔트로피의 상한을 주는 것이지 정확한 값을 주는 것은 아니다.
• 변분 원리가 등호로 성립한다: $ h(T) = \sup_{\mu} h_\mu(T) = \inf_d h_d(T) $, 여기서 하한은 적합한 거리에 대해 달성된다.
• 원주 $ S^1 $ 에서의 제곱 사상의 엔트로피는 $ \log 2 > 0 $ 이지만, 이는 결과와 모순되지 않는다. 왜냐하면 $ \pi: \mathbb{R} \to S^1 $ 이 적절한 사상이 아니기 때문이다. 따라서 엔트로피 비교가 성립하지 않는다.