[논문 리뷰] Entropy-bounded solutions to the one-dimensional heat conductive compressible Navier-Stokes equations with far field vacuum

Jinkai Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 09.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 39인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 원차원 열전도성 압축성 라우아즈-스토크스 방정식의 원점에서의 진공 조건 하에서 강한 해의 전역 존재성과 유일성을 확립하며, 초기 밀도가 $ O(1/x^2) $ 이하의 속도로 감쇠할 경우 시간에 관계없이 엔트로피가 균일하게 유계임을 증명한다. 핵심 기여는 엔트로피 유계성에 대한 탈선형 가중 에너지 추정과 열화된 포아송형 편미분방정식에 적용된 데 지오르기 유형 반복 기법에 있다.

ABSTRACT

In the presence of vacuum, the physical entropy for polytropic gases behaves singularly and it is thus a challenge to study its dynamics. It is shown in this paper that the boundedness of the entropy can be propagated up to any finite time provided that the initial vacuum presents only at far fields with sufficiently slow decay of the initial density. More precisely, for the Cauchy problem of the one dimensional heat conductive compressible Navier-Stokes equations, the global well-posedness of strong solutions and uniform boundedness of the corresponding entropy are established, as long as the initial density vanishes only at far fields with a rate no more than $O(\frac{1}{x^2})$. The main tools of proving the uniform boundedness of the entropy are some singularly weighted energy estimates carefully designed for the heat conductive compressible Navier-Stokes equations and an elaborate De Giorgi type iteration technique for some classes of degenerate parabolic equations. The De Giorgi type iterations are carried out to different equations in establishing the lower and upper bounds of the entropy.

연구 동기 및 목표

• 초기 밀도가 공간 무한대에서만 0이 되는 경우, 원차원 열전도성 압축성 라우아즈-스토크스 방정식의 강한 해에 대한 전역 적합성 문제를 확립한다.
• 일반적으로 특이성이 발생하는 원점에서의 진공 조건 하에서 엔트로피 유계성의 전파를 조사한다.
• 밀도가 무한대에서 0으로 수렴함에 따라 발생하는 시스템의 탈선형성 문제를 해결하기 위해 새로운 단일 가중 에너지 추정 기법을 개발한다.
• 탈선형 편미분방정식에 대해 데 지오르기 반복 기법을 확장하여 엔트로피의 상한과 하한을 동시에 제어한다.
• 초기 밀도가 $ O(1/x^2) $ 이하의 속도로 감쇠할 경우, 시간에 관계없이 엔트로피가 균일하게 유계임을 보여준다.

제안 방법

• 열전도성 압축성 라우아즈-스토크스 방정정식에 특화된 단일 가중 에너지 추정을 유도하며, 특히 진공 근처의 탈선형성 문제를 다룬다.
• 탈선형 편미분방정식의 구조에 맞게 조정된 데 지오르기 유형 반복 기법을 적용하여 엔트로피의 점별 유계성을 확립한다.
• 반복 과정의 핵심 방정식으로 엔트로피 방정정식 $ ho(s_t + us_x) - rac{ heta_x}{ heta}_x = rac{1}{ heta}( heta_x^2 + heta |u_x|^2) $ 를 사용한다.
• 두 단계로 구성된 데 지오르기 반복 기법을 적용한다: 하나는 $ heta $ 의 하한을 위한 것이고, 다른 하나는 상한을 위한 것이다. 이를 통해 엔트로피의 정칙성을 확보한다.
• 초기 밀도 $ ho_0 o 0 $ 이 $ |x| o ty $ 일 때의 감쇠 속도를 활용하여 $ heta $ 의 성장을 제어하기 위해 수열 $ heta_{ar{ ho}_0 + d} $ 를 구성한다.
• 에너지 추정식 $ Q_ ho o 0 $ 가 $ ho o ar{ ho}_0 + d $ 일 때 성립함을 이용하여 $ heta $ 의 균일 유계성을 도출하고, 이는 엔트로피 $ s $ 의 균일 유계성으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 밀도가 공간 무한대에서만 0이 되는 경우, 원차원 열전도성 압축성 라우아즈-스토크스 방정식의 강한 해가 전역적으로 존재할 수 있는가?
• RQ2 원점에서의 진공 조건 하에서, 초기 밀도가 얼마나 느린 감쇠 속도를 가지면 엔트로피가 시간에 관계없이 균일하게 유계로 유지되는가?
• RQ3 데 지오르기 반복 기법을 탈선형 편미분계산에 적용하여 온도와 엔트로피의 상한과 하한을 동시에 제어할 수 있는가?
• RQ4 밀도가 무한대에서 0으로 수렴함에 따라 발생하는 시스템의 탈선형성 문제를 다루기 위해 필요한 특별한 에너지 추정은 무엇인가?
• RQ5 진공이 무한대에서만 존재할 경우, 초기 자료로부터의 엔트로피 유계성 전파가 유한 시간 동안 유지될 수 있는가?

주요 결과

• 원점에서의 진공 조건 하에서, 초기 밀도가 $ O(1/x^2) $ 이하의 속도로 감쇠할 경우, 원차원 열전도성 압축성 라우아즈-스토크스 방정식에 대해 전역 강한 해가 존재한다.
• 엔트로피는 시간에 관계없이 균일하게 유계이며, $ ar{ ho}_0 $, $ ar{J}_T $, $ ar{M}_T $, 그리고 $ ar{ ho}_0 + d $ 에 따라 결정되는 명시적 상한을 가진다. 여기서 $ d $ 는 초기 자료와 시간 $ T $ 에 따라 결정되는 유한한 상수이다.
• 엔트로피의 유계성은 탈선형 편미분방정식에 대해 적용된 새로운 데 지오르기 유형 반복 기법을 통해 달성되며, 이는 하한과 상한을 동시에 보장한다.
• 밀도가 낮은 영역에서 $ heta $ 와 $ u_x $ 의 성장을 제어하기 위해 탈선형 가중 에너지 추정을 구성하였다.
• 이전 연구를 확장하여, 밀도가 무한대에서 느리게 감쇠할 경우, 균일한 공간과 비균일한 공간 모두에서 해의 적합성과 엔트로피의 유계성이 성립함을 보였다.
• 증명 과정에서 반복 과정에서 $ f( ho_0 + d) = 0 $ 이 성립함을 보여, $ heta $ 가 점별적으로 유계임을 의미하며, 이는 균일한 엔트로피 제어로 이어진다.