[논문 리뷰] Entropy of meromorphic maps and dynamics of birational maps

Henry de Thélin, Gabriel Vigny|ArXiv.org|2008. 06. 26.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 1인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 컴acts Kähler 다양체 위의 매르모픽 맵에 대한 최대 엔트로피 측도를 구성하는 기준을 수립하며, 이 기준을 $ℝ^k$ 위의 일반적인 비선형 사상에 적용한다. 슈퍼포텐셜과 복소의 잠재이론을 사용하여 그린 1-형식과 평형 측도를 구성하고, 이 측도가 혼합성, 복소의 퇄극집합에 대해 질량을 가질 수 없으며, 초구형임을 증명함으로써 최대 엔트로피와 혼돈적인 역학을 확인한다.

ABSTRACT

We study the dynamics of meromorphic maps for a compact Kaehler manifold X. More precisely, we give a simple criterion that allows us to produce a measure of maximal entropy. We can apply this result to bound the Lyapunov exponents. Then, we study the particular case of a family of generic birational maps of P^k for which we construct the Green currents and the equilibrium measure. We use for that the theory of super-potentials. We show that the measure is mixing and gives no mass to pluripolar sets. Using the criterion we get that the measure is of maximal entropy. It implies finally that the measure is hyperbolic.

연구 동기 및 목표

• 콤팩트 Kähler 다양체 위의 매르모픽 맵의 동역학에서 최대 엔트로피 측도를 식별하는 일반적인 기준을 개발하는 것.
• 비선형 사상에 대해 동역학적 차수의 최대값이 상위 차수에서 성립하지 않을 경우, $ℝ^k$ 위의 비선형 사상에 대한 평형 측도의 구성 기법을 엔도모르피즘을 초월하여 확장하는 것.
• 평형 측도가 혼합성과 초구형성을 띠며, 최대 엔트로피 측도로서의 역할을 확인하는 것.
• 높은 코드미니전을 가진 비정상성 집합과 비균일한 초구형성으로 인해 발생하는 도전 과제를 해결하는 것.

제안 방법

• Yomdin의 엔트로피 경계 정리에 기반하여, 불변 측도의 엔트로피에 대한 상한과 하한을 도출한다.
• 비정상성 집합이 존재할 경우에도, 특이한 1-형식을 다루고 유효한 와이드 곱을 정의하기 위해 슈퍼포텐셜을 사용한다.
• 반복된 사상에 의한 역상의 극한을 통해 (1,1)형식과 고차형식의 그린 1-형식을 구성한다.
• Hartogs의 수렴성과 준정규화 기법을 활용하여, 슈퍼포텐셜의 극한에서의 안정성과 수렴성을 보장한다.
• 그린 1-형식의 몽주-암페르 곱으로 평형 측도를 정의함으로써, 양성과 불변성을 보장한다.
• 최대 엔트로피 기준을 사용하여 초구형성을 도출하고, 이는 비영인 리아프노프 지수와 안정/불안정 다각형의 존재를 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트 Kähler 다양체 위의 매르모픽 맵에 대해 최대 엔트로피 측도를 식별하는 일반적인 기준을 수립할 수 있는가?
• RQ2 동역학적 차수가 상위 차수에서 최대가 아닐 경우, $ℝ^k$ 위의 비선형 사상에 대해 그린 1-형식과 평형 측도를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 슈퍼포텐셜을 통해 구성된 평형 측도가 퇄극집합에 질량을 가지지 않으며 혼합성을 보이는가?
• RQ4 평형 측도는 초구형인가? 그리고 이는 사상의 최대 엔트로피를 의미하는가?
• RQ5 코드미니전 ≥2인 비정상성 집합이 존재할 경우, 불변 측도의 구성에 어떻게 대처할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 최대 엔트로피 측도임을 보장하는 기준을 수립하였으며, 이 기준을 $ℝ^k$ 위의 비선형 사상에 적용하였다.
• 스위퍼포텐셜을 사용하여 특이성에도 불구하고 잘 정의된 그린 1-형식의 몽주-암페르 곱으로 평형 측도를 구성하였다.
• 평형 측도가 혼합성임을 증명하여 강력한 통계적 성질과 혼돈적인 행동을 나타냄을 확인하였다.
• 측도가 퇴극집합에 질량을 가지지 않음을 입증하여, 그 지지가 비퇴극집합 내에 있음을 확인하였다.
• 측도가 초구형인 것으로 증명되었으며, 이는 비영인 리아프노프 지수와 거의 모든 점에서 안정/불안정 다각형의 존재를 의미한다.
• 구성 과정을 통해 측도가 최대 엔트로피임을 확인하였으며, 이 클래스의 사상에서 엔트로피 최대화 문제를 해결하였다.