[논문 리뷰] Enumerating permutations avoiding a pair of Babson-Steingrimsson patterns

Anders Claesson, Toufik Mansour|arXiv (Cornell University)|2001. 07. 06.

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한 줄 요약

이 논문은 Babson과 Steingrímsson이 도입한 유형 (1,2) 또는 (2,1)의 일반화된 순열 패턴의 쌍을 피하는 순열의 완전한 열거를 제공한다. 재귀적 분해와 이분 탐색 트리, 치환, Motzkin 경로와 같은 조합 구조 간의 이분사 사상에 기반하여, 이러한 순열의 수에 대한 정확한 공식을 유도하며, 패턴 쌍에 따라 벨 수, 카탈란 수, Motzkin 수, 베ssel 수 또는 기타 알려진 수열로 주어진다는 것을 보여준다. 이 작업은 Claesson의 단일 패턴 결과를 쌍으로 확장하며, 더 큰 패턴 집합에 대한 행동을 추측한다.

ABSTRACT

Babson and Steingrìmsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. Subsequently, Claesson presented a complete solution for the number of permutations avoiding any single pattern of type (1,2) or (2,1). For eight of these twelve patterns the answer is given by the Bell numbers. For the remaining four the answer is given by the Catalan numbers. In the present paper we give a complete solution for the number of permutations avoiding a pair of patterns of type (1,2) or (2,1). We also conjecture the number of permutations avoiding the patterns in any set of three or more such patterns.

연구 동기 및 목표

• Claesson의 (1,2) 및 (2,1) 패턴에 대한 단일 패턴 회피 분류를 이러한 패턴의 쌍으로 확장하기 위해.
• 주어진 (1,2) 또는 (2,1) 유형의 일반화된 순열 패턴 쌍을 피하는 순열의 정확한 수를 결정하기 위해.
• 이러한 순열 클래스를 수기하는 조합 수열(예: 카탈란, Motzkin, 벨, 베assel)을 식별하기 위해.
• 계산적 증거를 바탕으로 세 개 이상의 패턴 집합에 대한 열거 수열을 추측하기 위해.

제안 방법

• 가장 큰 원소의 위치에 기반한 순열의 재귀적 분해를 통해 일반화된 패턴의 구조를 활용하기 위해.
• 패턴 쌍을 피하는 순열 클래스와 이분 탐색 트리, 치환, Motzkin 경로와 같은 알려진 조합 구조 간의 이분사 사상을 수립하기 위해.
• 생성 함수와 재귀 관계를 사용하여 순열 수의 증가를 모델링하기 위해, $ a_n $ 및 $ b_n $과 같은 수열에 대해 $ \sum a_n x^n = \frac{1}{1 - x - x^2 \sum B_n^* x^n} $ 및 $ b_{n+2} = b_{n+1} + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b_k $로 정의된 수열 포함하기 위해.
• 대칭성과 Wilf-등가 분석을 통해 패턴 쌍을 등가 클래스로 그룹화하여 고려할 필요가 있는 케이스 수를 줄이기 위해.
• 소규모 사례의 계산된 값에서 조합 수열을 식별하고 확인하기 위해 온라인 정수 수열 도서관(OEIS)을 활용하기 위해.
• 세 개 이상의 패턴 집합에 대해 $ |\mathcal{S}_n(P)| $를 체계적으로 계산하여 더 큰 패턴 집합에 대한 타당한 추측을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $ n $인 순열 중 주어진 (1,2) 또는 (2,1) 유형의 일반화된 패턴 쌍을 피하는 순열의 정확한 수는 얼마인가요?
• RQ2 카탈란, Motzkin, 벨, 베assel 등 알려진 조합 수열 중 어떤 것이 이러한 패턴 쌍을 피하는 순열을 수기하는 데 사용되나요?
• RQ3 대칭성과 Wilf-등가성은 이러한 패턴 쌍을 등가 클래스로 어떻게 그룹화합니까?
• RQ4 세 개 이상의 이러한 패턴을 피하는 순열 클래스의 渐近적 또는 구조적 행동은 어떻게 되나요?
• RQ5 세 개 이상의 이러한 패턴을 피하는 순열의 열거에 일반적인 패턴이 드러나나요?

주요 결과

• 모든 (1,2) 또는 (2,1) 패턴 쌍에 대해, 이를 피하는 순열의 수는 항상 표준 수열 중 하나로 주어진다: 벨 수($ B_n $), 카탈란 수($ C_n $), Motzkin 수($ M_n $), 베assel 수($ B_n^* $), 또는 특정 재귀 관계로 정의된 수열.
• 패턴 쌍 $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 12{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}3) $ 는 $[n]$ 의 겹치지 않는 분할을 세는 베assel 수 $ B_n^* $ 를 유도한다.
• 패턴 쌍 $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}32) $ 는 $ \mathcal{S}_n $ 내의 치환 수 $ I_n $ 을 유도한다.
• 패턴 쌍 $ (1{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}23, 13{\makebox[5.16663pt]{\rule[2.58334pt]{3.44444pt}{0.6458pt}}}2) $ 는 원 위의 겹치지 않는 현을 세는 Motzkin 수 $ M_n $ 을 유도한다.
• 세 개 이상의 이러한 패턴 집합에 대해, 논문은 열거 수열이 0, $ n $, $ 1 + \binom{n}{2} $, $ F_n $ (피보나치), $ \binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor} $, $ 2^{n-2} + 1 $, $ 2^{n-1} $, 또는 $ M_n $ 중 하나일 것이라 추측하며, 대칭성과 Wilf-등가 클래스 내에서 빈도 분포를 고려한다.