[논문 리뷰] Enumeration and Decidable Properties of Automatic Sequences

Émilie Charlier, Narad Rampersad외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 17.

semigroups and automata theory참고 문헌 25인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $k$-자동 수열의 여러 조합적 성질—예를 들어, 무경계 또는 회문인 요소의 존재—이 자동기법 및 논리적 기법을 사용하여 구조 $\langle\mathbb{N}, +, V_k\rangle$ 상에서 결정 가능하고 효과적으로 열거 가능하다는 것을 입증한다. 주요 기여는 관련 수열, 특히 요소 수와 등장 지표 수열이 $k$-자동 또는 $k$-정규 수열임을 증명한 것으로, 이는 유사한 결정 가능성 및 열거 가능성 결과를 피사토 수진 체계로 확장한다.

ABSTRACT

We show that various aspects of k-automatic sequences -- such as having an unbordered factor of length n -- are both decidable and effectively enumerable. As a consequence it follows that many related sequences are either k-automatic or k-regular. These include many sequences previously studied in the literature, such as the recurrence function, the appearance function, and the repetitivity index. We also give some new characterizations of the class of k-regular sequences. Many results extend to other sequences defined in terms of Pisot numeration systems.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 조합적 성질이 논리적 및 자동기법을 사용하여 $k$-자동 수열에서 결정 가능한지 여부를 규명하는 것.
• 길이 $n$인 서로 다른 요소의 수와 같은 열거 함수가 효과적으로 계산 가능하고 $k$-정규 수열 클래스에 속하는지 보여주는 것.
• $k$-자동 수열에서의 결정 가능성 및 열거 가능성 결과를 기저 $k$ 시스템에서 피사토 수진 체계로 확장하는 것.
• $\langle\mathbb{N}, +, V_k\rangle$에서 논리적으로 정의 가능성을 통해 $k$-정규 수열의 새로운 특성화를 제공하는 것.
• 이전의 재귀성, 등장 및 반복성 함수에 관한 결과들을 복원하거나 개선하는 것.

제안 방법

• 색인의 기수-$k$ 표현으로부터 $k$-자동 수열을 계산하기 위해 유한 자동기의 사용.
• 덧셈, 비교 및 존재 및 전칭 기호 시뮬레이션과 같은 연산에 의해 닫힘을 이용해 새로운 자동기를 구성함으로써 논리적 술어를 인코딩하는 것.
• Büchi의 논리적 프레임워크를 적용하여 $V_k(n)$이 $n$을 나누는 $k$의 최대 거듭제곱일 때 $\langle\mathbb{N}, +, V_k\rangle$에서 성질를 표현하는 것.
• 다중 입력을 자동기 구성에서 표현하기 위해 뒤집힌 자릿수 표현과 튜플 인코딩(예: 수의 쌍)의 사용.
• 피사토 체계에서 덧셈이 $U$-인지 가능하다는 사실을 활용하여 결정 가능성 결과를 $U$-자동 수열으로 확장하는 것.
• 열거 문제를 자동기 기반 검증(예: 언어의 공집합 여부 또는 유한성)으로 환원하여 효과적인 열거를 달성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $n$인 $k$-자동 수열 내에서 무경계 요소의 존재는 알고리즘적으로 결정 가능한가?
• RQ2 $k$-자동 수열 내에서 길이 $n$인 서로 다른 회문 또는 제곱 요소의 수는 효과적으로 열거 가능하고 $k$-정규인가?
• RQ3 $r$-거듭제곱 또는 회문의 존재와 같은 성질이 $\langle\mathbb{N}, +, V_k\rangle$에서 일阶논리적으로 정의 가능한 술어로 표현 가능한가?
• RQ4 $k$-자동 수열의 등장 및 재귀 함수는 $k$-정규 수열 클래스에 속하는가?
• RQ5 기저-$k$ 체계에서의 결정 가능성 및 열거 가능성 결과를 피사토 수진 체계로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 길이 $n$인 $k$-자동 수열 내에서 무경계 요소의 존재는 결정 가능하며, 이에 해당하는 지시 수열은 $k$-자동이다.
• 위치 $n$에서 시작하는 서로 다른 무경계, 회문 또는 제곱 요소의 수는 피사토 수진 체계 $U$에 대해 $({{\mathbb{N}}_{\infty}}, U)$-정규이다.
• 피사토 체계 $U$에서 $n$의 비정규 표현의 수는 $({{\mathbb{N}}_{\infty}}, U)$-정규이며, 이는 이전의 피보나치 표현 결과를 일반화한다.
• $k$-자동 수열의 임계 지표는 계산 가능하며, 이는 이전의 결정 가능성 연구를 확장한다.
• 최대 $q$개 상태를 가진 두 $k$-자동 수열 사이의 최단 구별 요소의 길이에 대해 $2^{2^{2^{2q^2}}}$의 상한이 확립된다.
• 논문은 모스, 올루, 커리, 가렐, 파그노, 브라운 등이 이전에 발표한 재귀성, 등장 및 반복성 함수에 관한 결과들을 복원하거나 개선한다.