[논문 리뷰] Enumeration of Hamiltonian Cycles on a Thick Grid Cylinder -- Part II: Contractible Hamiltonian Cycles

Olga Bodroža-Pantić, Harris Kwong외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 16.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정된 $m$과 증가하는 $n$을 갖는 두꺼운 격자 실린더 그래프 $P_{m+1} \times C_n$에서 수축 가능한 해밀턴 사이클(HCs)에 대한 새로운 이중도 기반 수식 방법을 개발한다. 수축 가능한 HCs는 내부 및 외부 나무 구조, 특히 고정된 위쪽 루트를 갖는 분할 나무를 통해 특성화되며, 이러한 특성화를 바탕으로 전이 행렬을 구성하여 이러한 사이클의 수를 계산한다. 그 결과, $m$이 홀수일 경우 수축 가능한 HCs가 점점 더 우세해지며, $m$이 짝수일 경우 수축 불가능한 HCs가 우세해짐을 밝혀낸다.

ABSTRACT

In this series of papers, the primary goal is to enumerate Hamiltonian cycles (HC's) on the grid cylinder graphs $P_{m+1} imes C_n$, where $n$ is allowed to grow whilst $m$ is fixed. In Part~I, we studied the so-called non-contractible HC's. Here, in Part~II, we proceed further on to the contractible case. We propose two different novel characterizations of contractible HC's, from which we construct digraphs for enumerating the contractible HC's. Given the impression which the computational data for $m \leq 9$ convey, we conjecture that the asymptotic domination of the contractible HC's versus the non-contractible HC's, among the total number of HC's, depends on the parity of $m$.}

연구 동기 및 목표

• 고정된 $m$과 증가하는 $n$을 갖는 두꺼운 격자 실린더 그래프 $P_{m+1} \times C_n$에서 수축 가능한 해밀턴 사이클(HCs)을 수량화하는 것.
• 창문 격자 $W_{m,n}$ 내부 및 외부 나무의 구조에 기반한 수축 가능한 HCs에 대한 두 가지 새로운 특성화를 개발하는 것.
• 영역 기반 코드화(내부 또는 외부)를 사용하여 효율적인 수량화를 위한 전이 행렬 이중도를 구성하는 것.
• 수축 가능한 HCs와 수축 불가능한 HCs의 점근적 우세도가 $m$의 홀짝성에 따라 어떻게 달라지는지 조사하는 것.
• 수축 가능한 HCs의 주요 특성근이 $P_{m+1} \times C_n$에서의 $hc_m(n)$과 $P_{m+1} \times P_n$에서의 HCs의 주요 특성근 사이에 깊은 연결이 있음을 추측하는 것.

제안 방법

• 특수한 외부 나무인 분할 나무(ST)와 단일 루트를 갖는 다른 외부 나무(DTs 및 UTs)를 포함하여, 수축 가능한 HCs를 분할 나무를 통해 특성화한다.
• 유효한 창문 구성 간 전이를 모델링하기 위해 내부 영역(0으로 표시됨)을 방향성 그래프 $D^{c,\text{Int}}_m$로 코드화한다.
• 외부 영역을 코드화하기 위해 두 번째 이중도 $D^{c,\text{Ext}}_m$를 구성하지만, 내부 영역 코드화보다는 효율성이 떨어진다.
• 이러한 이중도에 전이 행렬 방법을 적용하여 수축 가능한 HCs의 수를 위한 생성함수 $H^c_m(x)$를 계산한다.
• 전이 행렬 방법을 적용하여 수열 $hc_m(n)$의 재귀 관계와 주요 특성근을 유도한다.
• 내부 영역 코드화와 외부 영역 코드화의 효율성을 비교하여, 내부 영역 코드화가 이중도의 정점 수를 크게 줄여 계산적으로 더 효율적임을 밝혀낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 창문 격자 $W_{m,n}$에서 수축 가능한 해밀턴 사이클을 수축 가능한 HCs의 나무 구조를 통해 어떻게 체계적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 점점 $n \to \infty$에 가까워질수록 수축 가능한 HCs의 수와 수축 불가능한 HCs의 수 사이의 점근적 행동은 어떻게 되며, 이는 $m$의 홀짝성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 수축 가능한 HCs의 수열 $hc_m(n)$에 대한 주요 특성근이 $P_{m+1} \times C_n$에서의 $hc_m(n)$과 $P_{m+1} \times P_n$에서의 HCs 수열 $r_m(n)$의 주요 특성근 사이에 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 왜 전이 행렬 구성에서 내부 영역 코드화가 외부 영역 코드화보다 더 효율적인가?
• RQ5 홀수 및 짝수 $m$에 대해 $hc_m(n)$과 $r_m(n)$의 성장률 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $m \leq 9$에 대해 수축 가능한 HCs의 수 $hc_m(n)$은 주요 특성근 $\theta_{m,c}$를 중심으로 점근적으로 증가하며, $m = 6$일 경우 $hc_6(100) \sim 1.3102 \times 10^{89}$이고, $h^c_{6,nc}(100) \sim 9.6071 \times 10^{94}$이므로, $m$이 짝수일 경우 수축 불가능한 HCs가 우세함을 보여준다.
• 홀수 $m$일 경우 수축 가능한 HCs가 점근적으로 우세하고, 짝수 $m$일 경우 수축 불가능한 HCs가 우세함을 확인하여, 점근적 성장에서 홀짝성에 따른 이원화 현상이 존재함을 시사한다.
• 수축 가능한 HCs의 주요 특성근 $\theta_{m,c}$는 $P_{m+1} \times P_n$에서의 HCs 수열 $r_m(n)$의 주요 특성근과 일치함을 관찰하였으며, $m \leq 6$에 대해 확인되었고, $m = 7,8,9$에 대한 데이터로도 지지됨을 확인하였다. 이에 따라 $\theta_{10,c} \sim 37.0376$, $\theta_{11,c} \sim 58.75$, $\theta_{12,c} \sim 81.3666$, $\theta_{13,c} \sim 127.7$로 추측된다.
• 내부 영역 코드화는 외부 영역 코드화보다 훨씬 작은 이중도를 생성하여 정점 수가 적어져 계산적으로 훨씬 효율적임을 확인하였다.
• 생성함수 $H^c_m(x)$는 $D^{c,\text{Int}}_m$와 $D^{c,\text{Ext}}_m$에서 전이 행렬을 통해 유도되었으며, $m \leq 9$일 경우 $n \geq 23$에 대해 정확한 수량화가 가능해졌다.
• 논문은 $m \leq 7$에 대한 이전 데이터를 확인하고, $h_m(n)$의 알려진 값들을 $n \geq 23$까지 확장하였으며, 여러 독립적인 구현 간 완전한 일치를 보였다.