[논문 리뷰] Enumerative geometry of plane curves of low genus

Ravi Vakil|ArXiv.org|1998. 03. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 19인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 안정 사상의 모듈리 공간에서의 교차 이론을 사용하여 특정 특이점과 입사 조건을 갖는 저유한도 평면 곡선(유한도 0–3)을 세는 재귀 공식을 개발한다. A, B, C 및 경계 디바이저를 알려진 불변량으로 표현하고 일반 점을 통과하는 일차원 가중치 가중 가중치로 제한함으로써, 저유한도 평면 곡선의 특성 수, Severi 다양체의 기하학적 및 산술적 단면 유한도, 쌍곡점, 접점, 삼중점이 있는 곡선의 수를 계산할 수 있는 재귀 공식을 도출한다.

ABSTRACT

We collect various known results (about plane curves and the moduli space of stable maps) to derive new recursive formulas enumerating low genus plane curves of any degree with various behaviors. Recursive formulas are given for the characteristic numbers of rational plane curves, elliptic plane curves, and elliptic plane curves with fixed complex structure. Recursions are also given for the number of elliptic (and rational) plane curves with various "codimension 1" behavior (cuspidal, tacnodal, triple pointed, etc., as well as the geometric and arithmetic sectional genus of the Severi variety). We compute the latter numbers for genus 2 and 3 plane curves as well. We rely on results of Caporaso, Diaz, Getzler, Harris, Ran, and especially Pandharipande.

연구 동기 및 목표

• 지정된 특이점과 입사 조건을 갖는 임의의 차수의 유리 및 타원 곡선을 세는 재귀 공식을 유도하는 것.
• 유한도 2와 3인 곡선에 대해 Severi 다양체의 기하학적 및 산술적 단면 유한도를 계산하는 것.
• 모듈리 공간에서의 교차 이론을 사용하여 저유한도 평면 곡선의 특성 수를 계산 가능한 알고리즘을 제공하는 것.
• 기존의 유한도 0과 1 곡선 결과를 유한도 2와 3로 확장하고, 특히 초유한도 경우를 포함하여 재귀 관계를 통해 일반화하는 것.
• Caporaso, Diaz, Getzler, Harris, Ran, Pandharipande의 결과를 안정 사상 모듈리 공간과 디바이저 클래스 항등식을 통해 통합 및 일반화하는 것.

제안 방법

• 유한도 $g$와 차수 $d$를 갖는 기약 곡선에서 $\mathbb{P}^2$로의 안정 사상이 parametrizing 되는 모듈리 스택 $\overline{{\mathcal{M}}}_{g}(\mathbb{P}^{2},d)^{*}$ 를 사용한다.
• 핵심 디바이저 클래스 정의: $A = \pi_*(D^2)$, $B = \pi_*(D\cdot\omega)$, $C = \pi_*(\omega^2)$, $TL = A + B$, 여기서 $D$ 는 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ 의 역상이고 $\omega$ 는 상대 쌍대화층이다.
• C와 $TL - (\frac{d-1}{d})A$ (g=0일 때) 또는 $TL - A = B$ (g=1일 때)를 귀납적으로 표현하는 알려진 관계를 이용하며, 이는 분할 곡선을 parametrizing 하는 경계 디바이저 $\Delta_{i,j}$ 의 합으로 표현된다.
• 이러한 디바이저 항등식을 $3d + g - 2$ 개의 일반 점을 통과하고 일반 직선에 접하는 일차원 가중치 가중치로 제한한다.
• g=2,3에 대해 알려진 알고리즘을 사용하여 재귀 감소를 통해 디바이저 클래스의 차수($|A|$, $|B|$, $|C|$, $|\Delta|$, $|TL|$)를 계산한다.
• 하이퍼유한도 평면 곡선을 세는 Graber의 알고리즘을 적용하고, $\overline{{\mathcal{M}}}_3$ 내의 관계를 사용하여 $|C|$ 를 하이퍼유한도 수 $H_d$ 와 다른 불변량으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지정된 특이점(예: 쌍곡점, 접점, 삼중점)과 입사 조건을 갖는 차수 $d$의 유한도 곡선을 세는 재귀 공식은 무엇인가?
• RQ2 g = 2와 g = 3인 경우, Severi 다양체 $V^{d,g}$ 의 기하학적 및 산술적 단면 유한도는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 3d + g - 2개의 일반 점을 통과하고 일반 직선에 접하는 유한도 2와 3인 차수 $d$의 평면 곡선의 수는 얼마인가?
• RQ4 모듈리 공간 $\overline{{\mathcal{M}}}_{g}(\mathbb{P}^2,d)^{*}$ 에서의 디바이저 클래스 관계는 어떻게 추론 불변량의 재귀 계산을 이끌어내는가?
• RQ5 위상적 재귀나 내림계산을 사용하는 것보다 특성 수를 더 효율적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 유한도 2와 3에 대해, $|A|$, $|B|$, $|C|$, $|\Delta|$, $|TL|$ 의 차수는 g=2에 대해 알려진 알고리즘과 g=3에 대해 Graber의 방법을 사용하여 재귀적으로 계산된다.
• 차수 4인 쌍곡점이 있는 유한도 2 곡선의 수는 72이며, 차수 5일 땐 239,400이다; 유한도 3의 경우, 차수 4일 땐 0개, 차수 5일 땐 49,680개, 차수 6일 땐 329,520,312개이다.
• Severi 다양체 $V^{d,2}$ 의 기하학적 단면 유한도 $\hat{g}$ 는 d=4일 때 28, d=5일 때 166,321, d=6일 때 420,645,826이다; $V^{d,3}$ 에 대해선 d=4,5,6일 때 $\hat{g} = 0$ 이다.
• Severi 다양체 $V^{d,2}$ 의 산술적 단면 유한도 $g$ 는 d=4일 때 325, d=5일 때 762,994, d=6일 때 1,410,743,814이다; $V^{d,3}$ 에 대해선 d=4,5,6일 때 0이다.
• NP(a,b) 를 위한 재귀 공식이 유도되었으며, 이는 차수와 점 조건의 분해에 대한 합을 포함하고 있으며, 노드의 상사에 0, 1, 또는 2개의 접선이 있는 분할 곡선에 해당하는 항이 포함된다.
• 모든 목록된 불변량을 $4 \leq d \leq 6$ 에 대해 계산할 수 있는 Maple 프로그램은 요청 시 제공 가능하다.