[논문 리뷰] Environment tensor as order parameter for symmetry breaking and (symmetry-protected) topological orders

Fangzhou Liu, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 30.

Scientific Research and Discoveries인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 many-body 시스템에서 대칭 깨짐 및 위상적(대칭 보호 위상 포함) 전이를 감지하기 위해 환경 텐서를 새로운 순서 매개변수로 도입한다. 텐서 네트워크에서 단순한 반복 절차를 사용하여, 환경 행렬의 대칭 구조에 급격한 변화가 나타나는 것으로서 단계 전이를 식별한다. 이는 최소한의 계산 비용으로 정확한 단계 경계 검출이 가능하게 하며, 랩탑에서 몇 분 내로 양자 몬테카를로 기준치와 몇 퍼센트 이내의 결과를 도출한다.

ABSTRACT

Spontaneous symmetry breaking is well understood through the classical "Mexican Hat" picture, which describes many quantum phases of matter. Recently, several new classes of quantum phases of matter, such as topological orders and symmetry protected topological (SPT) orders, were discovered. In an attempt to address the transitions between all those phases of quantum matter under the same framework, we introduced an analogous yet very simple picture for phase transitions in the context of tensor-networks. Using a very simple iteration process, we found that both symmetry breaking and some topological phase transitions (for topological orders described by gauge theory and 1D SPT orders) could be marked by a sudden change in the symmetry structure of the so-called "environment matrix". In this process, the environment matrix serves as an "order parameter" that captures patterns of entanglement in topological phases. The symmetry change in the environment matrix is very much like the symmetry breaking of conventional order parameters. We applied this method to both the transverse Ising model (1D and 2D honeycomb), spin-1 model (1D), and the Toric Code model in a magnetic field (2D honeycomb), and explored the corresponding symmetry structure changes in their environment matrices in details. With just a few variational parameters and a few minutes' run time on a laptop, we could get the corresponding phase transition points within a few percent error compared with the Quantum Monte Carlo results.

연구 동기 및 목표

• 양자 물질에서 대칭 깨짐, 위상적, SPT 순서에 걸쳐 단일 프레임워크를 개발하기 위해.
• 국소적 순서 매개변수의 실패 원인인 위상적 불변량의 전역 성격으로 인해 비국소적 위상적 질서를 감지하는 데 어려움을 해결하기 위해.
• 전체 리노멀화 그룹 흐름이 필요 없이 일반적인 텐서 네트워크 웨이브 함수로부터 위상적 및 SPT 질서를 수치적으로 효율적으로 감지할 수 있는 방법을 제공하기 위해.
• 2D 시스템, 특히 스핀 간의 상호작용이 있는 모델과 위상적 질서가 있는 모델(예: 자기장이 있는 토릭 코드)에 대해 환경 텐서 접근법을 일반화하기 위해.
• 행렬 곱 상태 웨이브 함수에서 환경 행렬의 대칭 구조를 이용해 SPT 상을 직접 식별할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 원격한 위치에서 유래하는 장거리 얽힘 효과를 캡처하는 환경 행렬을 계산하기 위해 텐서 네트워크에 변분 반복 절차를 사용한다.
• 비대칭 텐서 네트워크를 위한 3단계 순환 프로세스를 포함한 자기일관성 있는 반복 기법을 사용하여 1D 및 2D에서 환경 행렬을 계산한다.
• 1D에서 SPT 질서를 탐색하기 위해 반복 루프에 대칭 군 원소(예: Z2 × Z2)를 삽입하는 왜곡된 반복 절차를 적용한다.
• 결과로 얻어진 환경 행렬의 대칭 구조를 진단 도구로 사용한다: 서로 다른 대칭은 서로 다른 상에 대응한다.
• 1D 가로 스핀 이징 모델 및 스핀-1 모델, 2D 꿀벌집 격자 모델(자기장이 있는 토릭 코드 포함)에 이 방법을 적용한다.
• 변분 에너지를 효율적으로 계산하기 위해 환경 행렬을 활용하여 기저 상태 에너지 최소화 및 단계 경계 검출을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 환경 행렬의 대칭 구조가 위상적 및 SPT 질서를 포함한 모든 양자 상을 분류하는 데 있어 보편적인 순서 매개변수로 기능할 수 있는가?
• RQ2 비국소적 위상적 질서 및 대칭 보호 위상적 질서 상에서의 단계 전이를 국소적 텐서 네트워크 데이터만을 사용하여 어떻게 감지할 수 있는가?
• RQ3 기존의 양자 몬테카를로와 같은 기준 방법에 비해 환경 텐서 방법이 얼마나 적은 계산 비용으로 알려진 단계 전이 점을 재현할 수 있는가?
• RQ4 정확도나 안정성 손실 없이 2D 및 회전 대칭이 없는 텐서 네트워크에 이 방법을 일반화할 수 있는가?
• RQ5 왜곡된 반복 절차가 어떻게 MPS 웨이브 함수에서 SPT 질서를 감지할 수 있게 하는가?

주요 결과

• 환경 행렬은 단계 전이에서 대칭 구조에 급격한 변화를 보이며, 이는 대칭 깨짐 및 위상 전이에 대한 강력한 지표가 된다.
• 1D 가로 이징 모델의 경우, 양자 단계 전이 점을 QMC 결과와 비교해 3% 미만의 오차로 정확히 식별한다.
• 2D 꿀벌집 가로 이징 모델에서, 몇 개의 변분 매개변수와 몇 분의 계산만으로도 정확한 단계 경계를 특정할 수 있다.
• 자기장이 있는 토릭 코드의 경우, 환경 행렬은 위상적 상과 비위상적 패라자이드 상을 구분하는 데 있어 명확한 대칭 패턴을 드러낸다.
• 왜곡된 반복 절차는 대칭 원소 삽입에 따른 스케일링 인자 비교를 통해 1D에서 SPT 상을 성공적으로 식별하며, MPS 웨이브 함수에서 직접 SPT 질서 감지를 가능하게 한다.
• 이 방법은 최소한의 계산 비용으로 매우 높은 정확도(양자 몬테카를로 기준치와 몇 퍼센트 이내)를 달성하여, 3D를 포함한 고차원 시스템에 대한 실현 가능성을 입증한다.