[논문 리뷰] Equating two maximum degrees

Yair Caro, Josef Lauri외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 27.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Caro와 Yuster(2017)가 제기한 그래프에서 최대 차수를 동일화하는 데 관한 미해결 문제를 해결하며, 유도 부분그래프에서 적어도 두 정점이 최대 차수를 갖도록 보장하기 위해 제거해야 할 정점 수에 대한 날카운 상한을 증명한다. 임의의 $ n \geq 4 $개의 정점을 가진 그래프에 대해, 최대 $ \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $개의 정점만 제거하면 되며, 최대 차수 $ \Delta $에 대해서는 $ \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $로 bound되며, 이 둘 모두 날카로운 bound이다. 또한 $ \Delta = 0,1,2 $에 대해 $ g(\Delta,k) $와 $ h(\Delta,k) $의 정확한 값을 제공하고, $ f(G) $를 계산하는 다항식 시간 알고리즘을 제시하여 오랫동안 남아있던 $ f(n,k) $ 함수에 대한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

Given a graph $G$, we would like to find (if it exists) the largest induced subgraph $H$ in which there are at least $k$ vertices realizing the maximum degree of $H$. This problem was first posed by Caro and Yuster. They proved, for example, that for every graph $G$ on $n$ vertices we can guarantee, for $k = 2$, such an induced subgraph $H$ by deleting at most $2\sqrt{n}$ vertices, but the question if $2\sqrt{n}$ is best possible remains open. Among the results obtained in this paper we prove that: 1. For every graph $G$ on $n \geq 4$ vertices we can delete at most $\lceil \frac{- 3 + \sqrt{ 8n- 15}}{2 } ceil$ vertices to get an induced subgraph $H$ with at least two vertices realizing $Δ(H)$, and this bound is sharp, solving the problems left open by Caro and Yuster. 2.For every graph $G$ with maximum degree $Δ\geq 1$ we can delete at most $\lceil \frac{ -3 + \sqrt{8Δ+1}}{2 } ceil$ vertices to get an induced subgraph $H$ with at least two vertices realizing $Δ(H)$, and this bound is sharp. 3. Every graph $G$ with $Δ(G) \leq 2$ and least $2k - 1$ vertices (respectively $2k - 2$ vertices if k is even) contains an induced subgraph $H$ in which at least $k$ vertices realise $Δ(H)$, and these bound are sharp.

연구 동기 및 목표

• Caro와 Yuster가 제안한 바와 같이 $ f(n,2) $에 대한 $ 2\sqrt{n} $가 최적의 상한인지 여부를 해결하기 위해.
• 유도 부분그래프에서 적어도 두 정점이 최대 차수를 갖도록 보장하기 위해 반드시 제거해야 할 정점 수의 정확한 최대값을 $ n $과 $ \Delta $에 대해 구하기 위해.
• $ \Delta = 0,1,2 $에 대해 $ g(\Delta,k) $와 $ h(\Delta,k) $의 정확한 값을 계산하고, 산림에서 $ f_{k}(G) $에 대한 날카운 상한을 도출하기 위해.
• $ f(G) $, 즉 두 최대 차수를 동일화하기 위해 제거해야 할 최소 정점 수를 $ O(n^2) $ 시간 내에 계산할 수 있음을 증명하기 위해.
• $ k $-가능한 그래프의 구조를 조사하고, 특히 $ k \geq 3 $일 경우 $ f_{k}(G) $에 대한 날카운 상한을 도출하며, $ f(n,k) = O(\sqrt{n}) $라는 추측을 탐색하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 $ f_k(G) $를 $ G $에서 유도 부분그래프 $ H $를 얻기 위해 제거해야 할 최소 정점 수로 정의하며, 이 부분그래프 $ H $는 최소한 $ k $개의 정점이 $ \Delta(H) $에 도달하도록 한다. 또한 $ f(n,k) $와 $ g(\Delta,k) $를 각각 크기가 $ n $인 그래프와 최대 차수 $ \Delta $인 그래프에 대해 최대값으로 정의한다.
• 2-동일화 집합 $ B $라는 개념을 도입하며, 이는 제거 시 유도 부분그래프에서 최소한 두 정점이 최대 차수를 갖도록 하는 정점 집합이다.
• 레미마를 사용하여 차수 차이 $ \text{diff}(G) = d_1 - d_2 $를 통해 $ f(G) $를 bound하며, $ f(G) \leq \text{diff}(G) $임을 보이고, $ f(G) < \text{diff}(G) $이면 유일한 최대 차수 정점가 모든 최소 2-동일화 집합에 포함되어야 함을 증명한다.
• 극단적 그래프 구성과 레이즈먼 유사 추론을 사용하여 날카운 상한을 유도하며, 특히 $ f(n,2) $와 $ g(\Delta,2) $에 대해 $ f(n,2) \leq \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $ 및 $ g(\Delta,2) \leq \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $임을 증명하고, 이 둘 모두 날카로움을 보인다.
• 산림의 경우, 별개의 별과 경로로의 구조적 분해를 사용하고, 오어의 정리(오르비네이션 이론)를 적용하며, 짝수성과 세기 추론을 통해 $ f_k(F) $를 bound한다. 이로써 $ f_k(F) \leq (2k-1)n^{1/3} $임을 증명하고, $ \Delta \leq 2 $인 그래프에서 $ k $-가능성에 대한 날카운 상한을 도출한다.
• $ \Delta = 0,1,2 $에 대해 $ g(\Delta,k) $와 $ h(\Delta,k) $의 정확한 값을 구성적 증명과 정점 차수 및 구성 요소 구조에 대한 케이스 분석을 통해 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Caro와 Yuster가 추측한 바와 같이 $ f(n,2) $에 대한 상한 $ 2\sqrt{n} $가 최적일까?
• RQ2 정확한 값 $ f(n,2) $를 $ n $의 함수로 구할 수 있으며, 이 상한이 날카로운가?
• RQ3 최대 차수 $ \Delta $인 그래프에서 두 최대 차수 정점을 동일화하기 위해 필요한 정점 제거 수의 최대값인 $ g(\Delta,2) $의 정확한 값은 무엇이며, 이 상한이 날카로운가?
• RQ4 최대 차수 $ \Delta \leq 2 $인 그래프에 대해 $ g(\Delta,k) $와 $ h(\Delta,k) $의 정확한 값은 무엇이며, $ k $-가능하지 않은 그래프의 정점 수에 대한 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ5 $ k \geq 3 $일 때 $ f_k(G) $를 다항식 시간 내에 계산할 수 있으며, $ f(n,k) = O(\sqrt{n}) $가 모든 $ k \geq 4 $에 대해 성립하는가?

주요 결과

• 이 논문은 모든 $ n \geq 4 $개의 정점을 가진 그래프 $ G $에 대해, 최소한 두 정점이 $ \Delta(H) $를 갖는 유도 부분그래프 $ H $를 얻기 위해 최대 $ \lceil (-3 + \sqrt{8n - 15})/2 \rceil $개의 정점만 제거하면 된다는 것을 증명하며, 이 상한은 날카롭다.
• 모든 최대 차수 $ \Delta \geq 1 $인 그래프 $ G $에 대해, 최소한 두 정점이 최대 차수를 갖는 유도 부분그래프를 얻기 위해 최대 $ \lceil (-3 + \sqrt{8\Delta + 1})/2 \rceil $개의 정점만 제거하면 되며, 이 상한 역시 날카롭다.
• $ \Delta = 0,1,2 $에 대해 $ g(\Delta,k) $의 정확한 값을 도출하였다: $ g(0,k) = \lfloor (k-1)/2 \rfloor $, $ g(1,k) = \lfloor (k-1)/2 \rfloor $, $ g(2,k) = k-1 $이며, $ h(\Delta,k) $에 대한 날카운 상한도 제공한다. $ h(\Delta,k) $는 최대 차수 $ \leq \Delta $인 $ k $-가능하지 않은 그래프의 최대 크기를 의미한다.
• 산림 $ F $에 대해 $ f_k(F) \leq (2k-1)n^{1/3} $임을 보였으며, 날카운 상한도 제시한다: $ n \geq 2k-1 $이면 $ f_k(F) \leq 2k-2 $, $ k $가 짝수이면 $ n \geq 2k-2 $이면 $ f_k(F) \leq 2k-3 $.
• 이 논문은 $ f(G) $, 즉 $ G $에서 두 최대 차수를 동일화하기 위해 제거해야 할 최소 정점 수를 $ O(n^2) $ 시간 내에 계산할 수 있는 다항식 시간 알고리즘을 제시하며, 이는 복잡도 문제를 해결한다.
• 이 논문은 $ h(\Delta,k) \leq g(\Delta,k) + k - 1 $임을 증명하고, 정확한 값을 계산한다: $ h(0,k) = k-1 $, $ h(1,k) = \lfloor k/2 \rfloor + 2\lfloor (k-1)/2 \rfloor $, $ \text{홀수 } k \geq 3 \text{일 때 } h(2,k) = 2k-2 $, $ \text{짝수 } k \geq 2 \text{일 때 } h(2,k) = 2k-3 $.