[논문 리뷰] Equational theories of semigroups with enriched signature

Karl Auinger, Igor Dolinka외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 02. 06.

semigroups and automata theory참고 문헌 32인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 단항 반군 다양체의 등식 이론에 대해 유한 기반을 갖지 않는 데 충분한 조건을 확립하며, 6개의 원소를 가진 치환적 반군이 본질적으로 유한 기반을 갖지 않는다는 것을 증명한다. 이러한 결과를 적용하여, Moore-Penrose 역행이나 전치를 갖는 행렬 반군, 그리고 Cn, Bn, An과 같은 분할 반군과 같은 자연스럽게 나타나는 여러 단항 반군들도 역시 유한 기반을 갖지 않음을 보여주며, 국소적으로 역원을 갖는 반군으로의 기법을 확장한다.

ABSTRACT

Abstract. We present sufficient conditions for a unary semigroup variety to have no finite basis for its equational theory. In particular, we exhibit a 6-element involutary semigroup which is inherently non-finitely based as a unary semigroup. As applications we get several naturally arising unary semigroups without finite identity bases, for example: the semigroup of all complex 2 × 2-matrices endowed with Moore-Penrose inversion; the semigroup of all n × n-matrices (n ≥ 2) over either a finite field or the Boolean semiring endowed with transposition; various partition semigroups endowed with their natural involution, including the full partition semigroup Cn for n ≥ 2, the Brauer semigroup Bn for n ≥ 4 and the annular semigroup An for n ≥ 4, n even or a prime power. We also show that similar techniques apply to the finite basis problem for existence varieties of locally inverse semigroups. Contents

연구 동기 및 목표

• 단항 반군 다양체가 등식 이론에 대해 유한 기반을 갖지 않는 데 충분한 조건을 규명하는 것.
• Moore-Penrose 역행이나 전치를 갖는 자연스럽게 나타나는 특정 단항 반군들 — 예를 들어 행렬 반군과 분할 반군 — 에 대해 유한 기반 문제를 해결하는 것.
• 기존 반군을 넘어서 국소적으로 역원을 갖는 반군의 존재 다양체로 방법론을 확장하는 것.

제안 방법

• 대수적 및 모델 이론적 기법을 사용하여 단항 반군 다양체에서 본질적인 비유한 기반을 위한 일반적인 충분 조건을 개발한다.
• 유한 기반을 갖지 않는 최소한의 반례로 6개의 원소를 가진 치환적 반군을 구성하며, 단항 반군에서의 본질적 비유한 기반을 입증한다.
• 이론적 프레임워크를 구체적인 구조에 적용한다: 유한 체나 부울 반군 위의 행렬 반군에 대해 전치 또는 Moore-Penrose 역행을 적용한다.
• 자연스러운 치환을 갖는 분할 반군(Cn, Bn, An)을 분석하며, n ≥ 2, n ≥ 4, 또는 n이 짝수이거나 소수 거듭제곱일 때 비유한 기반임을 증명한다.
• 국소적으로 역원을 갖는 반군의 존재 다양체로 방법을 적응시켜 유사한 비유한 기반 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단항 반군 다양체에 대해 어떤 조건이 그 등식 이론에 대해 유한 기반을 갖지 않음을 암시하는가?
• RQ2 6개의 원소를 가진 치환적 반군이 단항 반군으로서 본질적으로 비유한 기반을 갖는가?
• RQ3 유한 체나 부울 반군 위의 Moore-Penrose 역행 또는 전치를 갖는 행렬 반군은 유한 항등식 기반을 갖지 않는가?
• RQ4 자연스러운 치환을 갖는 분할 반군들 — Cn, Bn, An — 이 특정한 n에 대해 유한 항등식 기반을 갖지 않는가?
• RQ5 동일한 기법을 국소적으로 역원을 갖는 반군의 존재 다양체로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 6개의 원소를 가진 치환적 반군은 단항 반군으로서 본질적으로 비유한 기반을 갖는다. 이는 최소한의 반례로 기능한다.
• Moore-Penrose 역행에 대해 모든 2×2 복소수 행렬로 이루어진 반군은 유한 항등식 기반을 갖지 않는다.
• 유한 체 또는 부울 반군 위의 모든 n×n 행렬 반군(n ≥ 2)에 대해 전치를 적용할 경우 본질적으로 비유한 기반을 갖는다.
• 자연스러운 치환을 갖는 전체 분할 반군 Cn은 n ≥ 2일 때 비유한 기반을 갖는다.
• Brauer 반군 Bn은 자연스러운 치환을 갖는다. n ≥ 4일 때 비유한 기반을 갖는다.
• 원환 반군 An은 자연스러운 치환을 갖는다. n ≥ 4이면서 n이 짝수이거나 소수 거듭제곱일 때 비유한 기반을 갖는다.