[논문 리뷰] Equivalence of local-and global-best approximations, a simple stable local commuting projector, and optimal $hp$ approximation estimates in $H(\mathrm{div})$

Alexandre Ern, Thirupathi Gudi외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 22.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 39인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Raviart–Thomas–Nédélec 유한요소에 대해 $\bm{H}(\operatorname{div})$ 공간에서 국소적 및 전역적 최적 근사 간의 동치성을 확립하며, 전역 오차 한계가 메쉬 및 다항식 차수에 영향을 받지 않는 상수를 제외하고 국소 오차의 합과 동치임을 증명한다. 또한 최적의 $hp$-근사 추정치를 달성하는 안정적이고 국소적이며 공통 작용하는 프로젝터를 도입한다. 이 프로젝터는 최소한의 정규성 조건을 갖는 함수에 대해서도 성립한다.

ABSTRACT

Given an arbitrary function in H(div), we show that the error attained by the global-best approximation by H(div)-conforming piecewise polynomial Raviart-Thomas-Nédélec elements under additional constraints on the divergence and normal flux on the boundary, is, up to a generic constant, equivalent to the sum of independent local-best approximation errors over individual mesh elements, without constraints on the divergence or normal fluxes. The generic constant only depends on the shape-regularity of the underlying simplicial mesh, the space dimension, and the polynomial degree of the approximations. The analysis also gives rise to a stable, local, commuting projector in H(div), delivering an approximation error that is equivalent to the local-best approximation. We next present a variant of the equivalence result, where robustness of the constant with respect to the polynomial degree is attained for unbalanced approximations. These two results together further enable us to derive rates of convergence of global-best approximations that are fully optimal in both the mesh size h and the polynomial degree p, for vector fields that only feature elementwise the minimal necessary Sobolev regularity. We finally show how to apply our findings to derive optimal a priori hp-error estimates for mixed and least-squares finite element methods applied to a model diffusion problem.

연구 동기 및 목표

• 최소 정규성 조건 하에서 $\bm{H}(\operatorname{div})$ 공간에서 전역 최적 근사와 국소 최적 근사 간의 동치성을 확립한다.
• 최적 근사 성질을 유지하는 안정적이고 국소적이며 공통 작용하는 프로젝터를 구축한다.
• 국소적으로만 최소 Sobolev 정규성을 갖는 함수에 대해 $\bm{H}(\operatorname{div})$ 공간에서 완전히 최적의 $hp$-근사 추정치를 도출한다.
• 다항식 차수 $p$에 대한 민감도를 고려하여 비대칭 근사 설정으로의 분석을 확장한다.
• 모델 확산 문제에 대해 혼합 및 최소제곱 유한요소법에 적용하여 최적의 사전 $hp$-오차 추정치를 도출한다.

제안 방법

• 요소 경계에서 수렴과 법선 성분의 표류를 제약하여 $\bm{H}(\operatorname{div})$ 공간에서 전역 최적 근사와 국소 최적 근사 간의 동치성을 증명하며, 오차의 동치성은 메쉬의 형태 정규성, 차원, 다항식 차수에만 의존하는 상수를 통해 보장된다.
• 각 요소에서의 제약 최소화를 활용하여 국소적이며 안정적이고 공통 작용하는 프로젝터를 구성함으로써, 수렴 연산자와의 교환성과 수렴의 $\bm{L}^2$-노름 유지가 보장된다.
• Costabel과 McIntosh의 연구에서 유도된 단체에서의 $p$-로버스트 동치 결과를 활용하여 국소적으로 수렴 제약 조건을 제거함으로써 최적성 손실 없이 처리한다.
• 형태 정규성과 최소 정규성 조건 하에서, $h$와 $p$에 의존하지 않는 상수를 갖는 전역 오차가 국소 오차의 합에 의해 유계임을 증명한다.
• 국소 동치 결과와 프로젝터의 안정성 및 근사 성질을 결합하여 최적의 $hp$-오차 추정치를 도출한다.
• 해당 프레임워크를 혼합 및 최소제곱 유한요소법에 적용하여, 결과 오차 추정치가 $h$와 $p$ 양쪽에서 완전히 최적임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\bm{H}(\operatorname{div})$ 공간에서 전역 최적 근사 오차가 $h$와 $p$에 의존하지 않는 상수를 제외하고 국소 최적 근사 오차의 합과 동치인가?
• RQ2 최적의 $hp$-근사 성질을 달성하는 안정적이고 국소적이며 공통 작용하는 프로젝터를 $\bm{H}(\operatorname{div})$ 공간에서 구성할 수 있는가?
• RQ3 다항식 차수 $p$가 변할 때 국소와 전역 최적 근사 간의 동치성은 유지되며, 특히 비대칭 근사 설정에서 $p$-로버스트한가?
• RQ4 최소 정규성 조건 하에서 혼합 및 최소제곱 유한요소법에 대해 최적의 $hp$-오차 추정치를 도출할 수 있는가?
• RQ5 전역 근사에서 수렴과 법선 성분의 표류 제약 조건은 어떤 역할을 하는가? 국소적으로 이 제약 조건을 제거해도 전역 오차 한계에 영향을 주지 않는가?

주요 결과

• $\bm{H}(\operatorname{div})$ 공간에서 전역 최적 근사 오차는 메쉬의 형태 정규성, 차원, 다항식 차수에만 의존하는 상수를 제외하고 국소 최적 근사 오차의 합과 동치이다.
• 최적의 국소 최적 근사 오차와 동치인 근사 오차를 제공하는 안정적이고 국소적이며 공통 작용하는 프로젝터가 구성되었다.
• 비대칭 근사 설정으로의 동치 결과가 확장되어 상수의 $p$-로버스트성이 보장되며, 이는 고차수 방법에서 매우 중요하다.
• 국소적으로만 최소 $H(\operatorname{div})$ 정규성을 갖는 함수에 대해 $h$와 $p$ 양쪽에서 완전히 최적의 $hp$-근사 추정치가 도출되었다.
• 이 프레임워크는 모델 확산 문제에 적용된 혼합 및 최소제곱 유한요소법에 대해 완전히 최적의 사전 $hp$-오차 추정치를 도출한다.
• 분석을 통해 수렴의 $\bm{L}^2$-노름과 벡터장의 $\bm{L}^2$-노름이 모두 국소 최적 오차에 의해 유계이며, 형태 정규성 파라미터에 의해 명시적으로 제어됨을 확인하였다.